一元二次方程的解法易错点剖析

1一元二次方程易错题剖析一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a0题目1关于x的方程0)1(1222＝＋＋－－－kxxkkk是一元二次方程，求k的值．错解：∵2122＝－－kk即0322＝－－kk∴1k＝3，2k＝－1.错因：方程02＝＋＋cbxax（a0）为一元二次方程，这里强调a0.当2k＝－1时，使2k－1＝0，原方程是一元一次方程.正解：22k2k12,k10,－－＝－∴k＝3.二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数a0题目2关于x的一元二次方程02332)1(2＝－＋＋＋mmxxm有实根，求m的取值范围.错解：∵方程有实根，∴≥0，即)23)(1(4)32(2－＋－mmm≥0，∴84＋－m≥0，∴m≤2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m＋10，即m－1。正解：2(23m)4(m1)(3m2)0,m10,－＋－＋∴m≤2，且m－1.三、忽视根的判别式和二次项的系数a应满足的条件题目3已知关于x的方程02＝－－nmxx的两根之积比两根之和的2倍小21，并且两根的平方和为22，求m，n的值.2错解：设两根分别为1x，2x，则1x＋2x＝m，21xx＝－n.由题意，得1212221212(xx)xx,2xx22,＋－＝＋＝即212mn,2m2n22,＋＝＋＝解得11m7,27n,2＝＝－或22m3,13n.2＝－＝错因：因为方程有两根，说明根的判断式≥0，即nm42＋≥0，但m＝7和n＝－227不满足，应舍去.又这里二次项系数a＝1是已知的，解题时可不考虑。正解：当m＝7，n＝－227时，227472－＝＜0，不合题意，舍去；当m＝－3，n＝213时，2134)3(2＋－＝0，∴m＝－3，n＝213.四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况题目4a为何值时，方程)1(411＋＋＝＋＋＋xxaxxxxx只有一个实数根.错解：原方程化为0)1(222＝－＋－axx.此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根，∴0)1(24)2(2＝－－－＝a，∴21＝a.错因：当方程0)1(222＝－＋－axx的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立.正解：把x＝0代入0)1(222＝－＋－axx，得a＝l；把x＝－1代入0)1(222＝－＋－axx，得a＝5.∴当1a＝21，2a＝1，3a＝5时，原分式方程只有一个实数根.3五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况.题目5已知关于x的方程02)1(2＝＋＋－kkxxk有实根，求k的取值范围.错解：当2k10(2k)4k(k1)0－，－－，即22k14k4k4k0，－＋时，方程有实根，∴k≥0且k1时，方程有实根.错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.正解：当k－1＝O，即k＝1时，方程化为012＝＋x，∴1x2＝-.∴当k≥0时，方程有实根.六、不理解一元二次方程的定义题目6方程(m－1)xm2＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.错解：由题意可得m2＋1＝2，∴m＝±1．错因：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．方程经整理可转化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件．正解：由题意可得，m2＋1＝2，且m－1≠0，∴m＝±1且m≠1，∴m的值是－1．七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆题目7用配方法求2x2－12x＋14的最小值．错解：2x2－12x＋14＝x2－6x＋9－2＝(x－3)2－2．4∴当x＝3时，原多项式的最小值是－2．错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数．要注意等式与代数式变形的区别．正解：2x2－12x＋14＝2(x2－6x＋7)＝2(x2－6x＋9－2)＝2(x－3)2－4．∴当x＝3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质题目8解方程x2＝6x．错解：x2＝6x，解这个方程，得x＝6．错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式．正解：x2＝6x，x2－6x＝0，x(x－6)＝0，∴x1＝0，x2＝6．九、题目9关于x的方程2x－4－x＋k＝1，有一个增根为4，求k的值．1.对增根概念理解不准确错解1：把x＝4代入原方程，得2×4－4－4＋k＝1，解得k＝－3.错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立．实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理．2.忽略题中的隐含条件错解2：将原方程化为整式方程，得4(x＋k)＝(x－5－k)2．(*)把x＝4代入整式方程(*)，得4(4＋k)＝(4－5－k)2．5解之，得k1＝－3，k2＝5．答：k的值为－3或5．错因：本解法已经考虑到增根的定义．增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x＝4肯定是在解整式方程(*)时产生的．将x＝4代入整式方程(*)，等式应该成立．求出k1＝－3，k2＝5，但本解法忽略了对k值的验证．将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x＝4代到原无理方程中去验证．正解：（1）将k1＝－3，x＝4代入原无理方程，左边＝2×4－4－4－3＝1，右边＝1．左边＝右边．∴当k＝－3时，x＝4是适合原方程的根(不是增根)．（2）将k2＝5，x＝4代入原无理方程，左边＝－1，右边＝1，左边≠右边．∴当k＝5时，x＝4是原方程的增根．综上所述，原方程有一个增根为4时，k的值为5．十、忽略前提，乱套公式题目10解方程：2x+3x=4.错解：因为△=23-4×1×4=-7＜0，所以方程无解.错因：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式a2x+bx+c=0(a≠0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误.正解：方程可化为2x+3x-4=0.△=23-4×1×（-4）=25＞0.x=253.即1x=1,2x=-4.6十一、误用性质，导致丢根题目11方程（x-5）(x-6)=x-5的解是（）A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=7错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x=7.错因：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.正解：选D.移项得（x-5）(x-6)-(x-5)=0，因式分解得（x-5）(x-7)=0,解得1x=5，2x=7.十二、考虑不周，顾此失彼题目12若关于x的一元二次方程(m+1)2x-x+2m-m-2=0的常数项为0，则m的值为（）A.m=-1B.m=2C.m=-1或m=2D.m=1或m=-2错解：据题意可得2m-m-2=0，解得1m=-1,2m=2，所以选C.错因：错解中根据题中条件构造关于m的方程2m-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式a2x+bx+c=0中必须有a≠0这一条件.正解：据题意可得2m-m-2=0，解得1m=-1,2m=2.又因为m+1≠0,故m≠-1，所以m=2，故选B.十三、一知半解，配方不当题目13解方程：2x-6x-6=0.错解：移项，得2x-6x=6，故（x-3）2=0解得1x=2x=3.错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边7加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误.正解：移项，得2x-6x=6,所以2x-6x+9=6+9,即2)3(x=15,解得1x=3+15,2x=3-15.十四、概念不清，导致错误题目14下列方程中，一元二次方程为.2(1)43xx；22(2)(2)310xx；213(3)4033xx；2(4)0x；(5)12x；2(6)6(5)6xxx.错解：多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4)错因：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单．判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点.正解：是方程(1),(3),(4)十五、忽略二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大题目15.如果关于x的一元二次方程22(2)340mxxm有一个解是0，求m的值．错解：将x＝0代入方程中，得22(2)03040mm，24m，2m.错因：由一元二次方程的定义知20m，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，8正解：将0x代入方程中，得22(2)03040,mm24,2mm.又因为20m，所以2m.十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解题目16．关于x的方程2232mxxxmx是一元二次方程的条件是什么？错解：由一元二次方程的定义知0m.错因：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的.而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得2(1)(3)20mxmx，∴10,1mm．正解：关于x的方程2232mxxxmx是一元二次方程的条件为1m．十七、忽略一元二次方程有实根条件Δ≥0导致错解题目17.已知1x,2x是方程22(2)350xkxkk的两实根，求2212xx的最大值.错解：由根与系数的关系得122xxk，21235xxkk，2221212122222()2(2)2(35)106(5)19,xxxxxxkkkkkk所以当5k时，2212xx有最大值19.错因：当5k时，原方程变为27150xx，此时Δ＜0，方程无实根.错因是忽略了Δ≥0这一重要前提.9正解：由于方程有两实根，故Δ≥0，即22(2)4(35)0kkk,解得－4≤k≤－34.所以当4k时，2212xx有最大值18.十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解题目18.若2222(1)(3)5xyxy,则22xy=_________.错解：222222222()2()80(4)(2)0xyxyxyxy解得22xy=4或22xy=-2错因：忽视了22xy的非负性，所以应舍去22xy=-2.正解：4题目19、已知方程2350axx有两个实数根，求ɑ的取值范围．错解：∵已知方程有两个实数根，∴△≥0，即234(5)0,a∴a≥－209.所以ɑ的取值范围是大于或等于－209的实数．错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数ɑ不为0的条件。正解：ɑ≥－209且ɑ≠0．题目20、当k为何值时，方程2230kxx有实根?错解：∵已知方程有实根，∴△=(－2)²－4×3k≥0，10解得k≤31．又k≠0，∴当k≤31且k≠0时，方程kx²－2x+3=0有实根．错因：题目未说明已知方程为一元二次方程，当k=0时，方程为一元一次方程，此时有实根x=23，也符合题意。正解：当k≤31时，已知方程有实根．题目21、已知关于x的方程(m²－1)x²－(m+1)x+1=0的两实数根互为倒数，求m的值.错解：∵已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知2111m，解得2m．经检验，它们都是方程2111m的根，所以m的值为2，－2．错因：求出的m值需保