直线和圆的极坐标方程-曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化-圆锥曲线统一的极坐标方程

-1-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程-2-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.能在极坐标系中,求直线或圆的极坐标方程.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.了解圆锥曲线统一的极坐标方程.-3-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.直线和圆的极坐标方程(1)极坐标方程与曲线.在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程φ(ρ,θ)=0来表示.如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ,θ)=0建立了如下的关系:①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程φ(ρ,θ)=0;②极坐标满足方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线C上.那么方程φ(ρ,θ)=0叫作曲线C的极坐标方程,曲线C叫作极坐标方程φ(ρ,θ)=0的曲线.(2)直线的极坐标方程.直线l经过极点,倾斜角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R).(3)圆的极坐标方程.①圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程是ρ=r;②圆心在(a,0)(a0),半径为a的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ.-4-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1-1】在极坐标系中,圆心为A(4,0),半径为4的圆的极坐标方程为.答案:ρ=8cosθ【做一做1-2】在极坐标系中,过点M2,π2,且平行于极轴的直线的极坐标方程是.解析:如图所示,设P(ρ,θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点,在Rt△OMP中,ρcosπ2-𝜃=2(ρ≥0),即ρsinθ=2(ρ≥0).答案:ρsinθ=2(ρ≥0)-5-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互化可以顺利完成.点的直角坐标与极坐标互化关系如下:(1)点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式:𝑥=ρcos𝜃,𝑦=ρsin𝜃;(2)点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式:𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(𝑥≠0).-6-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2】直角坐标方程x2+(y-2)2=4化为极坐标方程为.解析:x2+(y-2)2=4可化为x2+y2=4y,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得(ρcosθ)2+(ρsinθ)2=4ρsinθ,化简得ρ=4sinθ.答案:ρ=4sinθ-7-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F,定直线为l,过定点F作定直线l的垂线,垂足为K,以F为极点,FK的反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系.若M(ρ,θ)为圆锥曲线上任意一点,连接MF,作MA⊥l,MB⊥Fx,垂足分别为A,B,则|𝑀𝐹||𝑀𝐴|=e,|FK|=p,圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ=𝑒𝑝1-𝑒cos𝜃,当0e1时,它表示椭圆;当e=1时,它表示抛物线;当e1时,它表示双曲线.名师点拨在极坐标系中,椭圆、抛物线、双曲线的方程得到了完美的统一.值得注意的是,圆锥曲线的极坐标统一方程,是以焦点为极点的,其中椭圆是以左焦点为极点,双曲线是以右焦点为极点.当e0,ρ0时方程只表示双曲线的右支,定点F是它的右焦点,定直线l是它的右准线.如果允许ρ0,方程就表示整个双曲线.-8-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3】把极坐标方程ρ=42-cos𝜃化为直角坐标方程.解:由ρ=42-cos𝜃变形得2ρ-ρcosθ=4,把ρ=𝑥2+𝑦2,x=ρcosθ代入并平方得4x2+4y2=x2+8x+16,即3x2-8x+4y2-16=0.-9-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.求曲线的极坐标方程的步骤剖析:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点;(2)由曲线上的点所满足的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f(ρ,θ)=0;(3)将列出的关系式f(ρ,θ)=0进行整理,化简,得出曲线的极坐标方程;(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,这一证明可以省略.2.直角坐标与极坐标互化时的注意事项剖析:(1)两组公式是在三个条件规定下得到的;(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但一般约定只在规定范围内求值;(3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端.-10-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一求直线的极坐标方程【例1】已知点P的极坐标为2,π4,直线l经过点P且倾斜角为3π4,求直线l的极坐标方程.分析:设M(ρ,θ)(ρ≥0)是直线l上除点P外的任意一点,极点为O,构造三角形求出ρ与θ之间的关系式.解:如图所示,设M(ρ,θ)(ρ≥0)为直线l上除点P外的任意一点,极点为O,连接OM,OP,该直线交Ox于点A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,-11-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三∠MOP=𝜃-π4,∠OPM=π2,所以|OM|cos∠MOP=|OP|,即ρcos𝜃-π4=2,即ρcos𝜃-π4=2,显然点P也在这条直线上.故所求直线的极坐标方程为ρcos𝜃-π4=2.反思在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为:设M(ρ,θ)为直线上任意一点,极点为O,连接OM,构造出含有OM的三角形,再找出我们需求的ρ与θ的关系,即为直线的极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程,再化为极坐标方程.-12-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos𝜃-π3=1,M,N分别为曲线C与x轴、y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解:(1)由ρcos𝜃-π3=1,得ρ12cos𝜃+32sin𝜃=1.从而曲线C的直角坐标方程为12x+32y=1,即x+3y=2.当θ=0时,ρ=2,所以点M的极坐标为(2,0).当θ=π2时,ρ=233,所以点N的极坐标为233,π2.-13-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三(2)点M的直角坐标为(2,0),点N的直角坐标为0,233.所以点P的直角坐标为1,33,则点P的极坐标为233,π6,所以直线OP的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).-14-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二求圆的极坐标方程【例2】求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程.解:如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴的另一个交点是A,在圆上任取一点P(ρ,θ),连接OP,PA.在Rt△OPA中,|OA|=8,|OP|=ρ,∠AOP=θ,所以|OA|·cosθ=ρ,即8cosθ=ρ,即ρ=8cosθ就是圆C的极坐标方程.反思在极坐标系中,求圆的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的关系,将它用坐标表示并化简,得到ρ和θ的关系,即为所求的极坐标方程.-15-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】在极坐标系中,已知圆C经过点P2,π4,圆心为直线ρsin𝜃-π3=-32与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解:在ρsin𝜃-π3=-32中,令θ=0,得ρ=1,即圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P2,π4,所以圆C的半径|PC|=(2)2+12-2×1×2cosπ4=1,则圆C过极点,故圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.-16-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三极坐标方