2.4曲线的极坐标方程与直角方程互化(讲课)

2.4曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化在平面直角坐标系中，方程x=1和y=1分别表示什么几何图形？在极坐标系中，方程ρ=1表示什么几何图形？温故知新问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心,1为半径的圆的方程是什么？在直角坐标平面上,曲线可以用x、y的二元方程f(x,y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。221xy问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心,1为半径的圆的方程是什么？问题3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？以极点O为圆心,1为半径的圆上任意一点极径为1，反过来，极径为1的点都在这个圆上。因此,以极点为圆心,1为半径的圆可以用方程ρ=1来表示.在极坐标平面上,曲线也可以用关于,的二元方程f(,)=0来表示,这种方程称为曲线的极坐标方程。在极坐标系中，由于点的极坐标表示不唯一，因此，在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程。2．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆________(0≤θ2π)圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ－π2≤θ≤π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)ρ＝r过极点，倾斜角为α的直线(1)________(ρ∈R)或___________(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0θπ)θ＝αθ＝π＋α问题：曲线的极坐标方程和直角坐标方程如何转化？探索新知直角坐标方程化为极坐标方程x=ρcosθ,y=ρsinθ极坐标方程化为直角坐标方程例10将下列曲线的极坐标方程化成直角坐标方程2(1)cossin20;(2)cos0;(3)cos216.rqrqrqrq--=-==x=ρcosθ,y=ρsinθ例11将下列曲线的直角坐标方程化成极坐标方程2222222(1)20;(2)20;(3)1;259(4)1;6436(5)48.xyxyaxxyyxyx--=+-=+=-==-2220220xxyxyxy（１）直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（2）直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（3）直角坐标方程的极坐标方程为＿＿＿＿＿1＿练：＿cos2sin0２－２cossin10２cos322cos()4练2：求下列极坐标方程在直角坐标系中表示的曲线：表示＝）极坐标方程（11表示极坐标方程cossin)2(圆心为原点，半径为1的圆112圆心(,),为半径为的圆2222sin()427(2,)4A练习3已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离。22212222)47,2(,0122)4sin(＝－－点到直线的距离为），－（化为直角坐标为点程为化为直角坐标方解：将直线Ayx化生为熟，体现化归思想课时小结1、熟练掌握曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化公式.2、利用互化公式可以将陌生的极坐标问题轻松转化为直角坐标问题，充分体现化归思想。4sin()33cossin80补充题：确定极坐标方程与所表示的曲线及位置关系。布置作业1、课本P18A组第5,6题（做在作业本上）,A组第7，8，9,10,11题（做在书上课前检查）2、课后练习：P17：2，3,4,5题.53cos5sin练习3已知一个圆的方程是＝，求圆心坐标和半径。3153cos5sin10(cossin)2210cos()6(5,)56rqqqqpqp-=-=+\-解：(方法一)=以为圆心，以为半径的圆2222253cos5sin53cos5sin535535()()2522535(,),522xyxyxyrqqrrrqrq-+=--++=-解：(方法二)＝两边同乘以得＝－即化为直角坐标为化为标准方程是所以圆心为半径是53cos5sin练习3已知一个圆的方程是＝，求圆心坐标和半径。42cos例4把极坐标方程＝化为－直角坐标方程。1648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx＝两边平方得：＋＝即－解：方程可化为2sin()427(2,)4A练习2已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离。22212222)47,2(,0122)4sin(＝－－点到直线的距离为），－（化为直角坐标为点程为化为直角坐标方解：将直线Ayx化生为熟，体现化归思想sin()sina2sin()427(2,)4A练习2已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离。提示：挖掘直线所隐含的几何特征.sin()sina想一想：如何挖掘直线方程中两个参数的几何意义求点到直线的距离？表示过点（，），且倾斜角为的直线sin()sin0.aa课时小结1、熟练掌握曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化公式.2、利用互化公式可以将陌生的极坐标问题轻松转化为直角坐标问题，充分体现化归思想。4sin()33cossin80补充题：确定极坐标方程与所表示的曲线及位置关系。布置作业1、课本P19A组第5,6题（做在书上，周六课前课代表检查）,A组第9,10题做在作业本上2、检查作业：《合页练习》课后反思：（1）本节课探讨极坐标方程和直角坐标方程的互化，是高考考查的重要内容，关键是会利用互化公式掌握直线和圆的几何特点，达到化生为熟、顺利解决问题的目的；（2）本节课以学生练习为主，教师作适当引导即可，4班可以有更多的启发甚至讲解；（3）内容安排适中，难度合理，教学效果较好。4sin()33cossin80例5确定极坐标方程与所表示的曲线及位置关系。，表示圆整理得：化为直角坐标将极坐标为半径的圆为圆心，以即表示以解：由4)1()3()1,3(2)6,2()6cos(4)6cos(4)]3(2cos[4)3sin(422yxAAA。它们的位置关系是相切示圆与直线，所给极坐标方程分别表圆心到直线距离：表示直线化直角坐标方程：由213813,08308sincos3dyx化生为熟，体现化归思想4sin()33cossin80例5确定极坐标方程与所表示的曲线及位置关系。、抛物线、双曲线，、椭圆，、圆，所表示的曲线是、极坐标方程DCBA12sin342表示抛物线即－得化为直角坐标方程解：将412912cos1312sin322xy___________________cos2sincos18相切的条件是与圆＝、直线cba012)(1)0,()0,(cos2011sincos222acbccbaacdcAAccAcbyaxba化简得于半径即到直线的距离等直线与圆相切，则圆心化为直角坐标为为半径的圆，为圆心，以是以＝圆化为平面直角坐标系为解：根据题意得2-42cos5(2010)()604M已知圆的极坐标方程．苏、锡、常、镇调研测为，求的试最大值．22222242cos()6032242(cossin)60224460(2)(2)22,223.xyxyxy因为，所以，所以其直角坐标方程为，即为，所求最大值即为圆上点到坐标原点的距离的最大值．又圆心到坐标原点的距离为，又圆的半径为，所以的最大【】值为解析【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.(1)ρcos(θ-)=2;(2)ρ2cos2θ=3;(3)ρ2-3ρcosθ+6ρsinθ-5=0;(4)ρ=.321sin极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】(1)原方程变形为,所以,即,它表示倾斜角为150°，且过点(4，0)的直线.(2)原方程变形为ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,所以x2-y2=3,它表示中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线.13(cossin)222132022xy340xy(3)原方程变形为x2+y2-3x+6y-5=0,它表示圆心为,半径为的圆.(4)原方程变形为ρ+ρsinθ=2,所以,所以x2+y2=4-4y+y2,即x2=-4(y-1),它表示顶点为(0,1),开口向下的抛物线.3(,3)2652222xyy这类题多采用化生为熟的方法，即常将极坐标方程化为普通方程，再进行判断.1.(2011·南通中学期末卷)在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=12sinθ，曲线C2：ρ=12cos(θ-).(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)若P、Q分别是曲线C1和C2上的动点，求PQ的最大值.6【解析】(1)因为ρ=12sinθ,所以ρ2=12ρsinθ,所以x2+y2-12y=0，即曲线C1的直角坐标方程为x2+(y-6)2=36.又因为ρ=12cos(θ-)，所以ρ2=12ρ(cosθcos+sinθsin)，所以x2+y2-x-6y=0，即曲线C2的直角坐标方程为(x-)2+(y-3)2=36.6666333(2)22max66(33)318PQ