第十六讲-希尔伯特变换和解析过程

主要内容3.1线性系统基本理论3.2随机信号通过连续时间系统的分析3.3随机信号通过离散时间系统的分析3.4白噪声通过线性系统和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示方法3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性2020/3/252ˆ()xt1希尔伯特变换，其希尔伯特)(tx)]([txH设有一个实值函数（或记作）变换记作ˆ()xt1()ˆ()()xxtHxtdt反变换为1ˆ1()ˆ()()xxtHxtdt希尔伯特2020/3/253t1()1()ˆ()ˆˆ1()1()()xtxtxtddxtxtxtdd2020/3/2542020/3/2541()()1ˆ()()*()xxxtddxtttt()xt()xt希尔伯特变换←→正交滤波器由可知，的希尔伯特变换看成是：将通过一个具有冲击响应为的线性滤波器（时不变系统）。()1/htt()ht1t()xt()xt2020/3/2552020/3/255希尔伯特变换的冲击响应及传递函数01()()sgn()0HHjhtHjjjt证明：由对称性性质可知，若，则)()(jFtf)(2)(fjtF因为jt2)sgn(，所以)sgn(2)sgn(22jt整理得：1()()sgn()HHhtHjjt2020/3/2562020/3/256002()|()|1()002jHHj正交滤波器的传输函数2020/3/2572020/3/257希尔伯特逆变换1ˆ1()1ˆˆ()()*()xtxtHxtdxtt11()Hhtt为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。证明：若输入信号为ˆ()()*()Hxtxtht通过一个滤波器1()Hht输出为11ˆ()()*()()*()*()HHHxtxthtxththt显然有1()()1HHHjHj所以111()sgn()()sgn()HHHjjHjj反变换111()()sgn()HHhtHjjt2020/3/2582020/3/2592020/3/2510可见，若x(t)若为t的偶函数，则为t的奇函数。同理，可见，若x(t)若为t的奇函数，则为t的偶函数。()xt()xt2020/3/25112020/3/25121.的希尔伯特变换为。()Xtˆ()Xt连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相移，正好180度相反。ˆ1()ˆ[()]()XHXtdXtt希尔伯特变换的性质2020/3/25132020/3/25142020/3/25152解析过程及其性质定义任一实随机过程，是的希尔伯特变换,即()Xtˆ()Xt()Xt复随机过程定义为ˆ()()()XtXtjXt为实随机过程的复解析过程，简称解析过程。()Xt()XtdtXtXHtX)(1)]([)(ˆ2020/3/2516解析过程的性质（1）若为实平稳随机过程，则也是实随机平稳过程，且联合平稳。()Xtˆ()Xt因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合平稳。2020/3/2517（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同ˆ()()*()XtXtht2ˆ()()()()XXXSSHjS2(()1)Hj经傅里叶反变换，得ˆ()()XXRRˆˆ()(),()()XXXXRRSS2020/3/2518（3）ˆˆ()()XXXRRˆˆ()()XXXRRˆˆ()[()()]XXREXtXt代入1()ˆ()XXtdtˆ1()()()XXXREdXttt令ˆ1()()()XXXtXtREd11()()EXtXtd()1ˆ()XXRdR将2020/3/2519（4）ˆˆ()()XXXXRRˆˆ()()XXXRRˆˆ()()XXXRRˆˆ()()XXXXRR2020/3/2520（5）ˆˆ()()XXXXRRˆˆ()()XXXXRRˆ1()ˆ()[()()]()XXXREXtXtEdXtt令并作变量替换tˆ()()1()XXEXtXtRd()()11XXRRddˆˆ()()XXXRR希尔伯特变换与它的原实过程之间的互相关函数为奇函数2020/3/2521（6）ˆ(0)0XXRˆˆ()()XXXXRRˆ(0)0XXRˆˆ(0)(0)XXXXRR表明在同一个时刻t，随机变量和正交，即注意，上式并不意味着和两个随机过程正交。tXtXˆtXˆtX0]ˆ[ttXXE2020/3/2522（7）ˆˆ()2[()()]2[()()]XXXXXXRRjRRjRˆˆˆˆ()[()()]ˆˆ[()()][()()]()()[()()]2[()()]XXXXXXXXXXREXtXtEXtjXtXtjXtRRjRRRjR2020/3/2523（8）ˆ()0()()0XXXXjSSjS由性质（3）可知，ˆˆ()()()*()XXHXXRRRh两边取傅里叶变换ˆ()sgn()()XXXSjSˆ()0()()0XXXXjSSjS2020/3/2524（9）4()0()00XXSS由性质（7）可知，ˆ()2[()()]XXXXRRjR两边取傅里叶变换ˆ()2[()()]2()[sgn()()]2[()sgn()()]4()000XXXXXXXXXSSjSSjjSSSS解析过程的功率谱密度只存在于正频率，即它具有单边功率谱密度，其强度等于原来实过程功率谱密度强度的4倍。2020/3/2525()XS4()XS012020/3/25262020/3/25261()[()()]()XttjXtt1()()1[sgn()]2()tjjjut()u将解析信号表达式进行变换：而式中：是频域的单位阶跃函数，因此如果是平稳随机信号，则解析信号是随机的，其频谱为：()Xt2()0()()2()00XXXu解析信号本质是原信号的正频率部分，为原信号频谱正频域分量的两倍。它是实信号的一种“简洁”形式。研究解析信号的意义2020/3/25272020/3/2527实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率ˆ()()()XtXtjXt22()()()()AtXtXtXt()()arctan()XttXt()()dttdt包络，瞬时振幅瞬时相位瞬时频率2020/3/25282020/3/2528Matlab实例•clc;•clearall;•n=0:1:50;•a=0.1;•x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n)%信x的表达式•y=hilbert(x);•z=x+j*y;•rz=real(z);•iz=imag(z);•A=sqrt(abs(x).^2+abs(y).^2);%求信号x的包络，瞬时振幅•subplot(2,2,1);•plot(x);•title(信号x(t)')•subplot(2,2,2);•plot(A);•title(‘信号x(t)的包络')•thet=atan(iz./rz);%求信号x的瞬时相位•subplot(2,2,3);•plot(thet);•title(‘信号x(t)的瞬时相位’)2020/3/25292020/3/25292020/3/2530例设低频信号的频谱为()||2()0AA其他)(ta证明：当时，满足20ttattaHttattaH0000cos)(]sin)([sin)(]cos)([2020/3/2531设证其频谱为：ttats0cos)()(0)(210)([21)]()([21)(0000AAAAS其希尔伯特变换的频谱密度为：0000ˆ()sgn()()[()()]2ˆ()()sin()2jSjSAAstatt同理可证：00[()sin]()cosHattatt