用欧拉公式证明只有五种正多面体

用欧拉公式证明：正多面体正多面体只有正四面体、正八面体、正六面体、正十二面何等和正二十面体五种。我们现在来证明，最多只有5个正多面体（如图）至于确有5个正多面体存在，那是早就知道的事（古希腊柏拉图(Plato)时候）。图形以及制造模型方法，可以参看史泰因豪斯（Steinhaus）著《数学万花镜》。①证明对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有r个边相遇。这样就有：nF=2E(1)rV=2E(2)(1)的右边系数2是因为每边出现在2面中，（2）的右边系数2是因为每边通过2个顶角。把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：或（3）显然n≥3，r≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。但n＞3，且r＞3又是不可能的，因为那样就要有，可是E＞0。所以r和n中至少有一个等于3。设n=3，那末，因此r=3,4,5,由是E=6，12，30，而F=4，8，20，这就给出了正四面体，正八面体和正二十面体。设r=3，那末，因此n=3,4,5，由是E=6，12，30，而F=4，6，12，这就给出了正四面体，正六面体（即立方体）和正十二面体。