基本初等函数的运算和意义

数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．③根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logbaab．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③两根式：12()()()(0)fxaxxxxa（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa．②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．③二次函数2()(0)fxaxbxca当240bac时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||MxMxMMxxa．数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,xx，且12xx．令2()fxaxbxc，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：2bxa③判别式：④端点函数值符号．①k＜x1≤x2△＝b2－4ac≥0af(k)＞0－b2a＞kxy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf②x1≤x2＜k△＝b2－4ac≥0af(k)＞0－b2a＜kxy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf③x1＜k＜x2af(k)＜0数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone])(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf④k1＜x1≤x2＜k2△＝b2－4ac≥0a＞0f(k1)＞0f(k2)＞0k1＜－b2a＜k2或△＝b2－4ac≥0a＜0f(k1)＜0f(k2)＜0k1＜－b2a＜k2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2a＞0f(k1)＞0f(k2)＜0f(p1)＜0f(p2)＞0或a＜0f(k1)＜0f(k2)＞0f(p1)＞0f(p2)＜0此结论可直接由⑤推出．数学资料远大教育全方位个性化教育发展中心ZhongshanYuanDaEducationCenter地址：中山市小榄镇文化路92号二楼电话：[phone]地址：中山市古镇镇海洲海兴路60号二楼电话：[phone]（5）二次函数2()(0)fxaxbxca在闭区间[,]pq上的最值设()fx在区间[,]pq上的最大值为M，最小值为m，令01()2xpq．（Ⅰ）当0a时（开口向上）最小值①若2bpa，则()mfp②若2bpqa，则()2bmfa③