中考数学压轴题解题技巧

中考数学压轴题解题技巧数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。先以2009年河南中考数学压轴题为例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.这是一道函数型压轴题。函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。先从知识角度来分析：（1）通过观察图象可以发现，直线AD和x轴平行，直线AB和y轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B的横坐标相同，因此A的坐标为（4,8）.知道了点A的坐标，加上已知条件点C的坐标，利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。此问在本题中占3分，解决此问的关键在于：①多角度、全方位观察图形；②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。（2）这是个动态的问题，解决动态问题的一个根本方法就是化动为静，动静结合。先看第一小问，当t为何值时，线段EG最长?我们通过观察图形，很容易能够发现t的变化，会导致点P位置的变化，点P位置的变化会引起点E位置的变化，而E点位置的变化直接决定了线段EF位置和长度的变化，而线段EF位置和长度的变化决定了线段EG位置和长度的变化，我们看到，问题最终就是回归到线段EG的长度之上。如果把整个这个变化的过程当作是一个事件来看的话，事件的起因就是t的变化，而事件的结果就是线段EG的长度发生变化。换句话说就是因为t的变化导致线段EG长度的变化。那么我们就可以把这个变化过程中的t当作自变量，线段EG的长度就是t的函数。因此，求当t为何值时，线段EG最长?实际上就是求函数取最大值时自变量的值。因此本问的关键就是如何求线段EG长关于t的函数。而求线段EG长关于t的函数，实际上就是把t看作是一个常数，求线段EG的长。通过观察图形，不难发现，求线段EG的长，可以通过求点E、G的纵坐标求得，点E的纵坐标可以通过点P的纵坐标求得，点G的纵坐标需要通过点E的横坐标求得，而点E的横坐标可以通过求线段PE的长度求得。思路如下图所示：解决此问的关键是：体会问题中涉及到的函数思想，利用数形结合的方法解决问题。（３）在点P、Q运动的过程中，△CEQ的形状不断在发生变化，如果△CEQ是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即点C、E、G分别可能是等腰三角形顶角的顶点。解决此问的关键是：体会△CEQ形状不断变化的特点，能够想到存在的情况可能有三种，然后分别去求三种情况所对应的t的值。当t为何值时，线段EG最长?求线段EG长关于t的函数函数的观点求点E和点G的纵坐标坐标系中两点间距离求线段ＡＰ的长求点Ｅ的横坐标求线段ＰＥ的长详细解题过程如下：解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8b解得a=-12,b=4∴抛物线的解析式为：y=-12x2+4x…………………3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=12AP=12t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+12t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-12（4+12t）2+4(4+12t）=-18t2+8.…………………5分∴EG=-18t2+8-(8-t)=-18t2+t.∵-18＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.…………………7分②共有三个时刻.…………………8分t1=163，t2=4013，t3=8525．…………………11分从技术角度来分析：①压轴题的出现是为了让参加中考的学生成绩更有区分度，所以并不是每一个同学都可以把压轴题完整地做出来的。所以我们告诫所有参加中考的同学，不要一味地把时间都花在压轴题上，一定要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。如果时间还有剩余，再静下心来攻克压轴题，这是技术方面的一个考虑。②压轴题并不可怕，所以情绪上要积极自信，没有必要惊慌失措。③就本题而言，如何才能让自己多拿一些分数呢？ⅰ）做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；第二问的两小问都有难度，但是细心的同学会发现第二小问和第一小问没有特别大的联系，因此如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。事实上中考有较多的压轴题并不是每一问之间都有联系。ⅱ）过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，拿第二小问来说，大部分同学都知道有3个时刻，可是因为写不出来相应的t值，因此就放弃不写了，殊不知，你只要回答有3个时刻就可以多得1分。和2009河南中考压轴题类似的中考题有很多，多数情况下类似第二问会有这样的问题：记图形中的某个变化三角形的面积为s，求s关于t的函数，并求当t取何值时s最大，s最大值是多少？涉及到等腰三角形的讨论类似的情况有直角三角形的问题。比如：（2009年济南中考题的最后一题的第三问）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DEPC∥交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，PDE△的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（2009年辽宁朝阳中考题最后一题第二问）将ABO△沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为)0,(x，CDE△与ABO△重叠部分的面积为S．i）试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；ii）当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？iii）是否存在这样的点C，使得ADE△为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.再以2009年江西中考数学压轴题为例：如图1，在等腰梯形ABCD中，BCAD//，E是AB的中点，过点E作BCEF//交CD于点F．6,4BCAB，∠60B.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作ABMN//交折线ADC于点N，连结PN，设xEP.①当点N在线段AD上时（如图2），⊿PMN的形状是否发生改变？若不变，求出⊿PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使⊿PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.ADEFADEFPNADEFPN这是一道几何型压轴题。常见的几何型压轴题以常见的三角形、四边形（如正方形、等腰梯形等）、圆等知识为考查重点，贯穿几何、代数及三角函数等知识，以证明题、计算题出现。先从知识角度来分析：（1）求点到直线的距离，一般的方法就是过这个点向直线作垂线段，然后利用勾股定理或者是解直角三角形的方法求垂线段的长度。（2）①通过观察点N的不同位置，可以发现⊿PMN的形状并不发生变化。不需要说明理由，然后分别去求三角形的三边长，最终求出三角形的周长。线段PM的长实际上就是线段EG的长，第一问已经求出来了，线段MN的长就是线段AB的长，问题复杂就复杂在求线段PN的长上，求线段的长，我们最容易想到也是最常用的方法还是构造直角三角形，然后使用勾股定理，因此过点PP作PHMN于H。②通过画草图，可以看到当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形。和2009河南中考压轴题一样，PMN△为等腰三角形需要讨论三种情况。详细解题过程如下：解：（1）如图1，过点E作EGBC于点G．····················1分∵E为AB的中点，∴122BEAB．在RtEBG△中，60B∠，∴30BEG∠．···········2分图1ADEBFCG∴22112132BGBEEG，．即点E到BC的距离为3．·····································3分（2）①当点N在线段AD上运动时，PMN△的形状不发生改变．∵PMEFEGEF，，∴PMEG∥．∵EFBC∥，∴EPGM，3PMEG．同理4MNAB．·················································································4分如图2，过点P作PHMN于H，∵MNAB∥，∴6030NMCBPMH∠∠，∠．∴1322PHPM．∴2330cosPMMH则35422NHMNMH．在RtPNH△中，222253722PNNHPH．∴PMN△的周长=374PMPNMN．······································6分②当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形．当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR．类似①，32MR．∴23MNMR．···················································································7分∵MNC△是等边三角形，∴3MCMN．此时，6132xEPGMBCBGMC．···································8分图2ADEBFCPNMGH当MPMN时，如图4，这时3MCMNMP．此时，61353xEPGM．当NPNM时，如图5，30NPMPMN∠∠．则120PMN∠，又60MNC∠，∴180PNMMNC∠∠．因此点P与F重合，PMC△为直角三角形．∴130tanPMMC此时，6114xEPGM．综上所述，当2x或4或53时，PMN△为等腰三角形．………………..10分从技术角度来分析基本同上，比如求PMN△的周长，即使算不出来线段PN的长，最起码可以求出另外两边的长，只要形成过程，就会给分。类似出现“＊＊是否发生改变？若不变，求出＊＊；若改变，请说明理由.”“若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.”这样的情况，几乎都是千篇一律，一定是存在的，因此回答“存在”就会得分。与之类似的几何型压轴题在2009年全国各地市中考卷中屡见不鲜。比如：（2009年广西南宁市中考题第25题第三问）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．总结以上两种类型压轴题的做题技巧，可以归纳如下：（一）态度上的技巧有相当一部分同学对自身数学学习状况没有一个完整的全面的认识，考试的时候往往会把重心都放在压轴题上，不管前面的题做的怎么样，反正就是最后一题不做完誓不罢休，可是结果呢？铃声响过，不但最后一题没写出来，前面的填空、选择连一个都没检查，“捡图3ADEBFCPNM图4ADEBFCPMN图5ADEBF（P）CMNGGRG了西瓜丢了芝麻”这样最初的想法也变成了“既丢芝麻又丢西瓜”的