【数学】1.3-反证法--课件(北师大版选修2-2)

1第一章推理与证明§1.3反证法2综合法特点：由因导果由已知结论分析法特点：执果索因即：由结果找条件倒推复习3思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？假设C没有撒谎,则C真;由A假,知B真.那么假设“C没有撒谎”不成立;则C必定是在撒谎.那么A假且B假;这与B假矛盾.推出矛盾.推翻假设.原命题成立.分析:由假设4反证法：①假设原命题结论不成立，②经过正确的推理,得出矛盾，③因此说明假设错误,④从而证明原命题结论成立,这样的的证明方法叫反证法反证法的基本步骤：四步得出矛盾的方法：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。5应用反证法的情形：(1)直接证明比较困难;(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;（3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样（4）结论为“唯一”之类的命题；6例1、已知a是整数，2能整除2a，求证：2能整除a.1)22(2144)12(2222mmmmma2a2a2a证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则，即是奇数。所以，2不能整除。这与”相矛盾。于是，“2不能整除a”已知“2能整除这个假设错误，故2能整除a.2a7例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则00PMQ。MPQ△PQMMPQPMQ0001809090PMQ这样的内角和这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。8解题反思：•证明以上题时，你是怎么想到反证法的？•反设时应注意什么？•反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？9例3、已知a≠0，证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。10证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n例4、求证：是无理数。22∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。•解题反思：本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？例5:已知直线和平面,如果且,求证:.ba,ab因为，所以.bb且,bba,ba////a证明：因为a∥b，所以经过直线确定一个平面.ba,证明：因为a∥b直线确定一个平面.ba,下面用反证法证明直线与平面没有公共点.假设直线与平面有公共点P,则,即点P是直线a与b的公共点,这与矛盾,所以.aabPba////a因为,而所以与是两个不同的平面.aaP综合法反证法感受反证法:练习1.求证：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．这与已知条件AB≠AC相矛盾，假设错误。求证：∠B≠∠C尝试解决问题已知：在△ABC中，AB≠AC。证明：假设∠B=∠C。所以AB=AC（等角对等边）所以∠B≠∠C。练习2.已知：如图△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上求证：CD、BE不能互相平分EDCBA（平行四边形对边平行）证明：假设CD、BE互相平分连结DE，故四边形BCED是平行四边形∴BD∥CE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误，∴CD、BE不能互相平分14归纳总结：1.哪些命题适宜用反证法加以证明？•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；•具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.152.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形.原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任意x，不成立3.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x,成立不等于某个