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高中数学课外公式补充及应用举例1★角平分线定理如下图所示,若P为ABC中A的内(外)角平分线与BC的交点,则PCBPACAB。【示例1】已知1F、2F分别为双曲线C:127922yx的左、右焦点,点CA,点M的坐标为)02(,,AM为21AFF的平分线,则2AF。【简答】:依据题意可得)0,6(1F,)0,6(2F,因为AM为21AFF的平分线,且点M的坐标为)02(,,所以由角平分线定理得2482121MFMFAFAF,即212AFAF。由双曲线的定义知6221aAFAF,故可得62AF。【示例2】已知I是ABC的内心,2AC,3BC,4AB,若ACyABxAI,则yx的值为()(A)31(B)32(C)94(D)95【简答】:如上图所示,因为I是ABC的内心,即AD平分BAC,BI平分ABC,所以由角平分高中数学课外公式补充及应用举例2线定理得224DCBDACAB,从而得232BCBD224IDAIBDAB,ADAI32(评注:目的是为了确定ID,的位置)所以)32(32)(3232BCABBDABADAIBCAB9432ACABABACAB9492)(9432,即329492yx,故选B。【示例3】已知双曲线C:12222byax的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M,交另一条渐近线于N。若FNMF2,则双曲线的离心率e。【简答】:如上图所示,因为)(222baccOF,所以依据题意可得bMF,aOM,bFN2。注意到,x轴为MON的平分线,所以由角平分线定理可得到21FNMFONOM,所以aON2进而在直角三角形OMN中,由勾股定理可得222)2()2(abba,即3122ab所以332311122abe★广义托勒密定理(不等式)设ABCD为任意凸四边形,则BDACADBCCDAB,当且仅当DCBA,,,四点共圆时取等号。高中数学课外公式补充及应用举例3【示例1】在平面四边形ABCD中,1AB,5AC,BCBD,BCBD2,则AD的最小值为。【简答】:依据题意可设tBCBD22,则tCD5。所以由托勒密定理得,BDACBCADCDAB即ttADt2551化简得5AD,故AD的最小值为5。【示例2】如图,在凸四边形ABCD中,1AB,3BC,CDAC,CDAC。当ABC变化时,对角线BD的最大值为。【简答】:依据题意可设tCDAC,则tAD2。所以由托勒密定理得,BDACBCADCDAB即BDttt231化简得61BD,故BD的最大值为61。★阿波罗尼斯圆(轨迹问题)若平面内一动点C到两定点BA,的距离之比等于非1的正常数,即,0(CBCA且)1,则此动点C的轨迹即为阿波罗尼斯圆。高中数学课外公式补充及应用举例4【示例1】满足条件2AB,BCAC2的三角形ABC的面积的最大值是。【简答】:根据题意有2BCAC,若把BA,看作定点,C看作动点,则由阿波罗尼斯圆的轨迹定义知点C的轨迹为圆。不妨设)0,1(A,)0,1(B,),(yxC,由222BCAC化简得8)3(22yx,此即为动点C的轨迹方程,结合图形易知222222121CABCrABS,故ABC面积的最大值为22。★重心性质(Ⅰ)0GCGBGA;(Ⅱ)2GEBGGDAG(另一条中线亦如此);(Ⅲ)若),(11yxA,),(22yxB,),(33yxC,则ABC的重心G的坐标为)3,3(321321yyyxxx;(Ⅳ)三条中线将ABC分成6个面积相等的小三角形。【1】ABC中,0GCGBGA,且0GBGA,若CmBABAtantantantantan,则实数m的值是。【简答】:因为CmBABAtantantantantan,所以CCmBABABBAAcossincoscossinsincossincossin,即CCmBACsincossinsinsin;高中数学课外公式补充及应用举例5所以22222222222cossinsinsincbaccbaababcCBACm①又因为0GCGBGA,且0GBGA,所以G为ABC的重心且GBGA。根据重心的相关性质,不妨设tGDAG22,nGEBG22,所以2222222416)4(44tntnBDBCa同理22222416)4(4ntntb,22244ntc将这三个式子的结果均代入①式可算出21m。★圆的相交弦定理如图所示,弦AB与弦CD相交于点P,则有PDPCPBPA。【示例1】函数)2015)(2014()(xxxf的图像与x轴,y轴有三个交点,有一个圆恰经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点是()(A))1,0((B))1,0((C))20152014,0((D))20152014,0(【简答】:根据题意得到三个交点分别为)0,2014(A,)0,2015(B,)20152014,0(C。设过CBA,,三点的圆与坐标轴交的第四个点为),0(aD,且在y轴的正半轴上。易知AB与CD的交点为O,所以由相交弦定理得ODOCOBAO,即a2015201420152014,解得1a。高中数学课外公式补充及应用举例6所以)1,0(D,故选B。★海伦公式边长为cba,,的三角形的面积公式为))()((cpbpappS,其中)(21cbap。【1】设nnnCBA的三边长分别为na,nb,nc,nnnCBA的面积为nS,,3,2,1n。若11cb,1112acb,nnaa1,21nnnacb,21nnnabc,则()(A)}{nS为递减数列(B)}{nS为递增数列(C)}{12nS为递增数列,}{2nS为递减数列(D)}{12nS为递减数列,}{2nS为递增数列【简答】:本题采用特殊值法。为了便于利用海伦公式算面积,不妨设41a,31c,51b,周长的一半61p,则)56()36()46(61S)14(12)12()12(121312;42a,292c,272b,周长的一半62p,则)276()296()46(62S)414(12)212()212(12;43a,4153c,4173b,周长的一半63p,则)4176()4156()46(63S)1614(12)412()412(12;44a,8334c,8314b,周长的一半64p,则)8336()8316()46(64S高中数学课外公式补充及应用举例7)6414(12)812()812(12;从而易看出4321SSSS,故选B。(根据选项此题至少算4个)★圆的切割线定理如图所示,过点P引两条割线PCDPAB,,一条切线PT,则有2PTPDPCPBPA。【1】如图,抛物线E:xy42的焦点为F,准线l与x轴的交点为A。点C在抛物线E上,以C为圆心,CO为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N。(Ⅰ)若点C的纵坐标为2,求MN;(Ⅱ)若ANAMAF2,求圆C的半径。高中数学课外公式补充及应用举例8【简答】:(Ⅰ)根据题意易得到)2,1(C,点C到直线MN的距离2d;从而2452222drMN。(Ⅱ)先设直线AF与圆C交另外一点为B。由圆的切割线定理得到ABAOAMAN;因为4222AFAMAN,所以4ABAO,即4AB,所以)0,3(B。此时OB为圆C的一条弦,根据垂径定理,易知线段OB的垂直平分线必过圆心C,所以23Cx从而62342Cy;所以4336492222CCyxOCr,故圆C的半径为233。★三角形内切圆半径公式cbaSrABC2rcbaSABC)(21(其中r为ABC的内切圆半径)【1】在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球,若ABBC,6AB,8BC,13AA,则V的最大值是()(A)4π(B)92(C)6π(D)323【简答】:根据题意只需考虑两方面的情形:一是保证球与上下底面相切,二是保证与三侧面相切。当球与上下底面相切时,球的半径应为232111AAR,当球与三侧面相切时,球的半径应为21086862122R,因此最终确定球半径的最大值23R,进而体积最大值2982734V【评注】:多面体的内切球半径公式:表面积内切球SVr3(推导原理是体积分割法)。高中数学课外公式补充及应用举例9★抛物线焦半径、焦点弦公式(该课外公式仅解小题)①AB为抛物线)0(22ppxy的焦点弦,F为焦点,),(11yxA,),(22yxB,为直线AB的倾斜角,则有(课内)21pxAF22pxBFpxxAB21;(课外)cos1pAFcos1pBF2sin2pAB。②AB为抛物线)0(22ppyx的焦点弦,F为焦点,),(11yxA,),(22yxB,为直线AB的倾斜角,则有(课内)21pyAF22pyBFpyyAB21;(课外)sin1pAFsin1pBF2cos2pAB。【示例1】已知F为抛物线C:xy42的焦点,过F作两条互相垂直的直线1l,2l,直线1l与C交于BA,两点,直线2l与C交于ED,两点,则DEAB的最小值为()A.16B.14C.12D.10【简答】:依据题意可得,2sin4AB22cos4)2(sin4DE所以22cos4sin4DEAB2sin414cossin4222162sin162故选A。另解:22cos4sin4DEAB)cos4sin4)(cos(sin22224sincos4cossin442222164428【示例2】过抛物线)0(2aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p,q,则qp11等于()高中数学课外公式补充及应用举例10A.a2B.a21C.a4D.a4【简答】:依据题意可得yax12,因qp,大小不定,则不妨取sin121aPFp,sin121aQFq所以aaaaqp421221sin121sin111。评注:当然本题可利用特殊位置以确定答案,比如当PQ平行于x轴时,易得出C选项。【示例3】过抛物线)0(22ppyx的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则FBAF。【简答】:依据题意得30sin1pAF,30sin1pBF。(因为结合图形易看出BFAF)。所以3130sin130sin130sin130sin1ppBFAF。★三次函数对称中心公式对于三次函数)0()(23adcxbxaxxf的对称中心,只需将三次函数求导两次后等于零)026)((baxxf,即得对称中心的横坐标)3(abx,所以三次函数的对称中心为))3(,3(abfab。【1】已知函数30299)(23xxxxf,实数nm,满足12)(mf,18)(nf,则nm()(A)6(B)8(C)10(D)12【简答】:依据题意可得0186)(xxf,则该三次函数的对称中心为)3,3(,所以满足6)6()(xxf,然而61812)()(nfmf,所以6nm
本文标题:高中数学:利用高中数学拓展公式巧解高考及模拟试题
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