【2018新课标-高考必考知识点-教学计划-教学安排-教案设计】高一数学：用三角形法则与平行四边形法

1高中数学巧用三角形法则与平行四边形法则解向量问题编稿老师王应祥一校杨雪二校安宁审核隋冬梅1.三角形法则（1）向量加法的三角形法则要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点。可以推广到n个向量相加的情况：AEDECDBCAB（注意字母必须首尾顺次连接首尾）。（2）向量减法的三角形法则，可以归纳为“共起点，箭头由减数指向被减数”。2.平行四边形法则如图，作,,bOBaOA以OA，OB为边作平行四边形OACB，连接BA，则,BAabOCab3.几何意义：一般地|a＋b|≤|a|＋|b|；当a与b不共线时，|a＋b||a|＋|b|；当a与b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当a与b共线且反向时，|a＋b|＝||a|—|b||。例题1已知正方形ABCD的边长为1，,,ABaACcBCb，则||abc为（）A.0B.3C.2D.22解析：由正方形的边长为1，可得正方形的对角线AC长为2，||abc222ABBCACACACAC答案：D点拨：题目若用数量积公式，显然运算量大，而利用加法的几何意义，则迎刃而解。例题2已知abab，求aab与的夹角。解析：根据三角形法则，设,,OAaOBb由abab可知OAB是等边三角形，由平行四边形法则且ab，则可知ab平分BOA，所以aab与的夹角为30°。2点拨：考虑到向量的模为线段的长度及三角形减法的几何意义，abab可推出三角形是等边三角形，是解决问题的关键。例题3已知△ABC和点M满足0MAMBMC，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m＝________。解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM＝23AD，①因为AD为中线，则2ABACADmAM，即2ADmAM②，联立①②可得m＝3。答案：3点拨：本题考查平面向量基本定理及向量的加法法则，解题的关键是确定点M是△ABC的重心。向量法突破三点共线问题1.若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则OP＝12（OA＋OB），如图所示。2.三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A、B、C共线，则AB＝λBC。（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则OC＝λOA＋μOB，且R,，λ＋μ＝1。【满分训练】O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的______心。解析：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线且2ABACAD，∵()OPOAABAC，(),()2OPOAABACAPABACAD，//APAD，∴A、P、D三点共线，所以点P一定过△ABC的重心。答案：重点拨：题目主要考查向量共线的充要条件及向量加法、减法的运算，注意到运算的几何意义是解决问题的关键。3（答题时间：30分钟）1.若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A.EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOE2.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2BC＝16，ABACABAC＝，|则AM|等于（）A.8B.4C.2D.13.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ（||||ACACABAB），),[0，则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心4.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量(4,3)v（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为v个单位），设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（）A.（－2，4）B.（－30，25）C.（10，－5）D.（5，－10）5.设平面向量1a、2a、3a的和为零向量，如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则（）A.1230bbbB.1230bbbC.1230bbbD.1230bbb6.如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，则x＝______，y＝_______。7.5,12,abab则的最小值为________，ab的最大值为________。8.在矩形ABCD中，|AB|＝1，AD＝2，设,,ABaBCbBDc则|a＋b＋c|＝________。9.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度大小为4km/h，求水流的速度。10.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足2OBOCOBOCOA，则△ABC的形状为________。11.如设点O在△ABC内部，且有OCOBOA4＝0，求△ABC与△OBC的面积之比。12.设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A（0，2），B（0，－2）且GHAB（λ∈R）。（1）求点C（x，y）的轨迹E的方程；4（2）过点（2，0）作直线L与曲线E交于点M、N两点，设ONOMOP，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由。51.B解析：由减法的三角形法则知EFOFOE。2.C解析：由216,4,4BCBCABACABACCB，而ABAC2,2AMAM。3.B解析：||ABAB表示AB方向上的单位向量，||ACAC表示AC方向上的单位向量，ABAC|AC||AC|在∠BAC的平分线上，故P点的轨迹过三角形的内心。4.C解析：设5秒后点P运动到点A，则5(20,15)PAPOOAV，∴(20,15)(10,10)OA＝（10，－5）。5.D解析：方法一：∵1230aaa，∴1232220.aaa故把2ia（i＝1，2，3），分别按顺时针旋转30后与ib重合，故1230bbb，应选D。方法二：令1a＝0，则2a＝3a，由题意知2b＝3b，从而排除B，C，同理排除A，故选D。6.1＋3232解析：作DF⊥AB交AB的延长线于F，设AB＝AC＝1⇒BC＝DE＝2，∵∠DEB＝60°，∴BD＝62，由∠DBF＝45°，得DF＝BF＝62×22＝32，所以33,22BFABFDAC所以33(1)22ADABBFFDABAC7.717解析：由ababab，又5,12,17abab则7故最小值为7，最大值为17。8.4解析：根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝ABBCBD＝2AD＝4。9.解：如图，设船在静水中的速度为v1＝23km/h，实际航行的速度为v0＝4km/h，水流的速度为v2，则由v12＋v22＝v02，得（23）2＋v22＝42，∴v2＝±2，取v2＝2km/h，6即水流的速度为2km/h。故答案为：2km/h。10.直角三角形解析：2OBOCOAOBOAOCOAABAC，OBOCCBABAC，∴ABACABAC故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形。11.解：取BC的中点D，连接OD，则ODOCOB2，∵OCOBOA4＝0，∴)(4OCOBOA＝OD2，∴ODOA21。∴O、A、D三点共线，且|OD|＝2|OA|，∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2。12.解：（１）由已知得(,)33xyG，又GHAB，∴(,0)3xH∵CH＝HA∴222()()433xxxy即221(23)124xyx；（2）设l方程为y＝k（x－2），代入曲线E得（3k2＋1）x2－12k2x＋12（k2－1）＝0设N（x1，y1），M（x2，y2），则x1＋x2＝221231kk，x1x2＝2212(1)31kk∵OPONOM，∴四边形OMPN是平行四边形，若四边形OMPN是矩形，则ONOM，∴x1x2＋y1y2＝0∴222222212(1)12(1)24(4)0313131kkkkkkk得k=3∴直线l为：3(2)yx。