4空间数据处理(3)—空间数据内插

4空间数据处理4.1空间数据坐标变换4.2空间数据结构的转换4.3空间数据内插一、概述空间数据内插概念设已知一组空间数据，它们可以是离散点的形式，也可以是分区数据的形式，空间数据内插就是从这些数据中找到一个函数关系式，使该关系最好地逼近这些已知的空间数据，并能根据该函数关系式推求出区域范围内其他任意点或任意分区的值。即通过已知点或分区的数据推求其它点或其它分区数据的方法就称为空间数据的内插。根据已知点和已知分区数据的不同，将空间数据内插分为：点的内插区域的内插二、空间数据内插方法插值目的：由于取样的数据点呈离散分布形式，或者数据点虽然按格网排列，但格网的密度不能满足使用的要求，这样就需要以数据点为基础进行插值运算。1、点的内插点内插实现过程①数据取样：野外或在图像上选点，取样；②数据内插方法选择：根据数据特点，选择数学模型；③数据记录/插值运算：将内插结果按一定的数据结构形式，存储起来，供系统使用。插值运算的手段是选择一个合理的数学模型，使用已知点上的信息求出函数的待定系数。待求点的值可写成一般式为：zp=Ax+By+Czp=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F。。。。。。根据系数的求算方法，点插值的方法又分为：①逐点内插a)移动拟合法b)最小二乘法c)反比距离加权法d)克里格/金法②局部函数内插•移动拟合法的过程如下：(1)为了选择邻近的数据点，以待定点P为圆心，以R为半径圆，凡落在圆内的数据点即被选用。(2)列方程式，把被选择的数据点带入方程求系数。(3)带入待求点的坐标（x，y）求解za)移动拟合法是在未知点附近寻找若干个采样参考点，拟合一个局部函数，内插出该点的值。①逐点内插•与移动拟合法方法不同之处：(1)选择的邻近的点的个数，超过待定系数的个数。(2)在求未知点时，需要考虑距离未知点不同距离的样点的权重（作用）。权值应与距离成反比，间距愈近，对待求点测定值的影响应愈大。由移动拟合方法延伸出来的方法b）最小二乘法c）反比距离加权法•与移动拟合法方法不同之处：在求拟合方程时，需要考虑距离未知点不同距离的样点的权重（作用）。权值应与距离成反比，间距愈近，对待求点测定值的影响应愈大。移动拟合方法的特例d）克里格/金法•克里金法(Khriging)是法国地理数学家GergesMatheron(1997)和南非矿业工程师，D．G．Krige创立的地质统计学中矿品位的最佳内插方法。•克里金法假设任何变量的空间变化都可以由下述三个主要成份的和来表示：①与均值或趋势面有关的结构部分；②与局部变化有关成份，即配置法中的随机信号；③随机噪声或者称观测误差。局部函数内插局部函数法通常以格网小块为加密区，采用低次项函数拟合地表面。a)线性内插b)双线性多项式内插c)双三次多项式（样条函数）•a)线性内插。线性内插的多项式函数为：zp=a0+a1x+a2y只要将内插点周围的3个数据点的数据值带入多项式即可解算出系数a0、a1、a2。A(xa,ya,za)B(xb,yb,zb)C(xc,yc,zc)P•b)双线性多项式内插。双线性内插的多项式函数为：zp=a0+a1x+a2y+a3xy只要将内插点周围的4个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a0、a1、a2、a3。A(i,j)B(i+1,j)C(i,j+1)D(i+1,j+1)xyPMNST•c)双三次多项式(样条函数)内插。双三次多项式是一种样条函数。样条函数是一种分段函数,可用于精确的内插，可以保留微地貌特征。•双三次多项式内插的多项式函数为：Zp=a1x3y3+a2x2y3+a3xy3+a4y3+a5x3y2+a6x2y2+a7xy2+a8y2+a9x3y+a10x2y+a11xy+a12y+a13x3+a14x2+a15x+a16需要4个格网节点的数据，以及x和y方向的斜率、曲面的扭曲来定义函数的待定值。12345678xyzABCDXY插值形成地下水位图2、区域内插主要方法：叠置法比重法从已知分区的数据(如社会经济数据)中推出同一地区的另一组分区数据。如：已知某地区各县中历年的人口分布数据，但因行政区划分使该地区中某些县的边界线发生了变化，现在需要推算新行政区中历年的人口分布数据，就可用这种插值方法。5.05.05.05.05.0x3.33.35.05.05.03.35.05.05.05.0区域插值实现过程：(1)把区域划分成网格，并求每个方格的平均值。(2)重采样平滑数据。按邻域法平滑数据，计算公式可用四邻域或八邻域法。四邻域法公式：zij=(zi+1,j+zi-1,j+zi,j+1+zi,j-1)／4八邻域法公式：zij=(zi+1,j+zi-1,j+zi,j+1+zi,j-1+zi+1,j+1+zi+1,j-1+zi-1,j+1+zi-1,j-1)／8(3)求平滑后的区域内各网格值之和：U1A，U1B，U1C，与原来各区域网格值之和相除得到数据的变化率，检查是否符合要求（即变化率接近1）。PA=UA／U1APB=UB／U1BPC=UC／U1C(4)若数据变化率不符合要求，各格网值乘以变化率，得到调整后的格网值，再进行第二次平滑。如此循环，直到区域数据的变化率满足要求。例证：区域内插方法-比重法已知某地区有A、B、C三个区域，并已知该三个区域的面积和人口数，人口数分别为UA、UB、UC，如下图所示。现将该区域重新划分A1、B1、C1三个区域，如图，请用区域属性数据的插值法求A1、B1、C1三个区域的面积和人口数。人口面积UA357UB306UC103历史区现实区AA1BCB1C1(1)在历史区上叠加满足精度的格网。将历史区内的各格网赋予平均值。求出：A区每个栅格值为35／7=5.0B区每个橱格值为30／6=5.0C区每个栅格值为10／3=3.3如图所示5.05.05.05.05.05.03.33.35.05.05.03.35.05.05.05.0图历史区ABCACB历史区人口面积UA357UB306UC103(2)对图历史区数据做第一次平滑后，得图1-1。5.05.05.05.05.03.33.35.05.05.03.35.05.05.05.05.05.04.44.25.04.64.63.95.05.04.24.45.05.05.04.2图历史区数据图1-1第一次平滑数据4.65.05.05.03.35.05.05.05.03.34.6+++=()/4z22=(3)计算数据的变化率，对结果（图1-1）进行调整。计算各分区变化率：PA=UA／U1A=35／33.2=1.05PB=UB／U1B=30／28.4=1.06PC=UC／U1C=10／12.9=0.78其中U1A=33.2=5.0+5.0+5.0+5.0+4.6+4.4+4.2U1B=28.4=5.0+5.0+5.0+5.0+4.2+4.2U1C=12.9=4.6+3.9+4.4计算第一次平滑调整值：各个网点值×分区变化率,得到图1-2第一次平滑调整值5.05.04.44.25.04.64.63.95.05.04.24.45.05.05.04.2图1-1第一次平滑数据5.05.05.05.05.03.33.35.05.05.03.35.05.05.05.05.05.04.44.25.04.64.63.95.05.04.24.45.05.05.04.2图历史区数据图1-1第一次平滑数据4.65.05.05.03.35.05.35.34.64.45.34.83.63.05.35.34.53.45.35.35.34.5图1-2第一次平滑调整值(4)反复进行（2）、（3）计算，直到数据的变化率满足要求（接近1），或者相应分区的格网值比较一致时，计算结束。5.05.05.05.05.05.03.33.35.05.05.03.35.05.05.05.05.05.04.44.25.04.64.63.95.05.04.24.45.05.05.04.2图历史区数据图1-1第一次平滑值5.35.34.64.45.34.83.63.05.35.34.53.45.35.35.34.5图1-2第一次平滑调整值5.34.94.43.85.14.94.23.85.35.04.44.05.35.34.84.4计算变化率PA=35／33.7=1.04PB=30／29.2=1.03PC=10／12.0=0.835.55.14.64.05.35.13.53.25.55.24.53.35.55.54.94.5图2-1第二次平滑值图2-2第二次平滑调整值(5)当变化率满足要求时，计算目标区的内插值。现实区内插值如下：A1区：U1A=5.5+5.3+5.5+5.2+4.5=26B1区：U1B=5.5+5.5+4.9+4.5+5.2+4.5=30C1区：U1C=5.1+5.1+4.6+3.5+4.0=22A1：26C1：22B1：305.55.14.64.05.35.13.53.25.55.24.53.35.55.54.94.5现实区内插值满足变化率最终调整值5.55.14.64.05.35.13.53.25.55.24.53.35.55.54.94.5重新计算总结重点掌握•空间数据插值概念；•空间数据插值方法；•点插值的原因/目的;•点插值的过程•有哪些点插值的方法•了解区域插值的实现过程如下;