中考第一轮复习：矩形、菱形、正方形

考点一矩形、菱形、正方形的性质与判定图形性质判定面积公式矩形边两组对边分别平行且相等1.定义法:有一个角是直角的平行四边形叫矩形;2.对角线相等的平行四边形是矩形;3.有三个角是直角的四边形是矩形矩形的面积等于长与宽之积角四个角都是直角对角线对角线互相平分并且相等对称性既是轴对称图形又是中心对称图形,有两条对称轴考点一矩形、菱形、正方形的性质与判定图形性质判定面积公式菱形边两组对边分别平行,四条边相等1.依据定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形;3.四条边都相等的四边形是菱形角对角相等对角线两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形又是中心对称图形,对角线的交点就是对称中心,对角线所在直线就是对称轴,有2条对称轴考点一矩形、菱形、正方形的性质与判定图形性质判定面积公式正方形边对边平行、四条边都相等1.有一组邻边相等的矩形是正方形;2.对角线互相垂直的矩形是正方形;3.有一个角是直角的菱形是正方形;4.对角线相等的菱形是正方形角四个角都是直角对角线两条对角线互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形又是中心对称图形,有4条对称轴考点一矩形、菱形、正方形的性质与判定判定正方形的思路图考点二平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系命题点一矩形的性质及判定——命题角度1应用矩形的性质进行相关计算或证明典例1(2017广西南宁,22)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.命题点一矩形的性质及判定——命题角度1应用矩形的性质进行相关计算或证明典例1(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°.∵BE=DF,∴OE=OF.在△AOE和△COF中,𝑂𝐴=𝑂𝐶,∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹,𝑂𝐸=𝑂𝐹,∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.(2)∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OA=OB.∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12,∴在Rt△ABC中,BC=𝐴𝐶2−𝐴𝐵2=63,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×63=363.命题点一矩形的性质及判定——命题角度1应用矩形的性质进行相关计算或证明(2017甘肃兰州,8)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=变式训练1A.5B.4C.3.5D.3命题点一矩形的性质及判定——命题角度2判定一个四边形是矩形典例2(2017山东日照,18)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.命题点一矩形的性质及判定——命题角度2判定一个四边形是矩形典例2(1)证明:在△DCA和△EAC中,𝐷𝐶=𝐸𝐴,𝐴𝐷=𝐶𝐸,𝐴𝐶=𝐶𝐴,∴△DCA≌△EAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形.理由如下:∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.故答案为AD=BC.(答案不唯一)解析(2017黑龙江哈尔滨,19)四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=3,则CE的长为.命题点二菱形的性质及判定——命题角度1应用菱形的性质进行相关计算或证明典例3(2017河北,9)求证:菱形的两条对角线互相垂直已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.以下是排乱的证明过程:①又BO=DO;②∴AO⊥BD,即AC⊥BD;③∵四边形ABCD是菱形;④∴AB=AD.证明步骤正确的顺序是A.③→②→①→④B.③→④→①→②C.①→②→④→③D.①→④→③→②命题点二菱形的性质及判定——命题角度1应用菱形的性质进行相关计算或证明变式训练2(2017漳州质检)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OB=OD.点E在线段OA上,连接BE,DE.给出下列条件:①OC=OE;②AB=AD;③BC⊥CD;④∠CBD=∠EBD.请你从中选择两个条件,使四边形BCDE是菱形,并给予证明.你选择的条件是:(只填写序号).命题点二菱形的性质及判定——命题角度2判定一个四边形是菱形典例4命题点二菱形的性质及判定——命题角度2判定一个四边形是菱形典例4解法一选①②.∵OB=OD,OC=OE,∴四边形BCDE是平行四边形.∵AB=AD,OB=OD,∴AO⊥BD,即EC⊥BD,∴平行四边形BCDE是菱形.解法二选①④.∵OB=OD,OC=OE,∴四边形BCDE是平行四边形,∴BC∥DE,∴∠CBD=∠BDE.∵∠CBD=∠EBD,∴∠BDE=∠EBD,∴BE=DE,∴平行四边形BCDE是菱形.命题点二菱形的性质及判定——命题角度2判定一个四边形是菱形典例4解法三选②④.∵AB=AD,OB=OD,∴AO⊥BD,即EC⊥BD,∴∠BOC=∠BOE=90°.∵∠CBD=∠EBD,BO=BO,∴△BOC≌△BOE,∴OE=OC.又∵OB=OD,∴四边形BCDE是平行四边形.又∵EC⊥BD,∴平行四边形BCDE是菱形.(备注:选①③或②③或③④结论不成立)命题点三正方形的性质及判定——命题角度1应用正方形的性质进行相关计算和证明典例5(2017广东,10)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CBF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是A.①③B.②③C.①④D.②④命题点三正方形的性质及判定——命题角度1应用正方形的性质进行相关计算和证明变式训练3(2017天津,17)如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为.命题点三正方形的性质及判定——命题角度2正方形的判定及其应用典例6(2017山东青岛,21)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.命题点三正方形的性质及判定——命题角度2正方形的判定及其应用典例6(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF为正方形.理由如下:∵点E,O分别是AB,AC的中点,∴EO∥BC.又BC∥AD,∴OE∥AD,即OE∥AF.同理可证OF∥AE,∴四边形AEOF为平行四边形.又点E,F分别为AB,AD的中点,∴AE=AF,∴平行四边形AEOF为菱形.∵AB⊥BC,∴∠B=90°,∴∠BAD=90°,∴四边形AEOF为正方形.命题点三正方形的性质及判定——命题角度2正方形的判定及其应用变式训练4如图,以A,B为其中两个顶点作位置不同的正方形,一共可以作A.1个B.2个C.3个D.4个命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题典例7阅读下面材料:在数学课上,老师请同学们思考如下问题:如图(1),我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来,得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.结合小敏的思路作答:(1)若只改变图(1)中四边形ABCD的形状,如图(2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由.命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题典例7图(1)图(2)参考小敏思考问题的方法解决以下问题:(2)如图(2),在(1)的条件下,若连接AC,BD.①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?写出结论并证明.②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?直接写出结论.命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题典例7(1)在图(2)中,连接AC,根据三角形中位线定理得到EF∥AC,EF=12AC,GH∥AC,GH=12AC,然后根据平行四边形判定定理即可得到结论.(2)①由(1)易知四边形EFGH是平行四边形,且FG=12BD,HG=12AC,于是当AC=BD时,FG=HG,即四边形EFGH是菱形;②当AC⊥BD时,根据平行线的性质得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根据矩形的判定定理即可得到结论.命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题典例7(1)四边形EFGH还是平行四边形.理由如下:连接AC,∵点E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,EF=12AC.∵点G,H分别是CD,AD的中点,∴GH∥AC,GH=12AC,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形.(2)①当AC=BD时,四边形EFGH是菱形.证明:∵点F,G分别是BC,CD的中点,∴FG=12BD.∵点H,G分别是AD,CD的中点,∴HG=12AC.由(1)易知四边形EFGH是平行四边形,∴当AC=BD时,FG=HG,∴四边形EFGH是菱形.②当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形.命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题典例7常见的中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形两对角线的关系(相等、垂直、相等且互相垂直)决定.证明中点四边形的形状时,一般要用到对角线,依据三角形的中位线定理获得判定的条件.常见的中点四边形的结论有:(1)顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形;(2)顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形;(3)顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形;(4)顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形;(5)顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形;(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形.命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题变式训练5(2016宁德,24)已知正方形ABCD,点E在直线CD上.(1)若F是直线BC上一点,且AF⊥AE,求证:AF=AE;(请利用图中所给的图形加以证明)(2)写出(1)中命题的逆命题,并画出一个图形说明该逆命题是假命题;(3)若点G在直线BC上,且AG平分∠BAE,探索线段BG,DE,AE之间的数量关系,并说明理由.命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题变式训练5(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ADC=∠ABF=∠BAD=90°.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°=∠BAD,∴∠BAF=∠EAF-∠EAB=∠BAD-∠EAB=∠DAE,∴△ABF≌△ADE,∴AF=AE.(2)逆命题:已知正方形ABCD,点E在直线CD上,点F是直线BC上一点,且AF=AE,则AF⊥AE.画图如下:由图可知,当AF=AE时,AF不一定垂直于AE,所以该逆命题是假命题.(答案不唯一,正确即可)命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题变式训练5(3)①如图(1),当点E在线段CD上时,有AE=DE+BG.理由:过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,由(1)得△ABF≌△ADE,∴∠1=∠2,AF=AE,BF=DE.∵AG平分∠BAE,∴∠3=∠4,∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠FAG=∠DAG.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠AGF=∠DAG=∠FAG,∴AF=FG,∴AE=AF=FG=BG+BF=BG+DE,∴AE=BG+DE.图(1)命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题变式训练5②如图(2),当点E在线段CD的延长线上时,有BG=DE+AE.理由:过点A作AF⊥AE交BC于点F.易得A