福建2018中考数学压轴题解析

25、已知抛物线cbxaxy2经过点0(A，)2.（1）若点2(，)0在抛物线上，求a与b的关系.（2）抛物线上任意不同两点1(xM，)1y，2(xN，)2y.且当021＜＜xx时，0))((2121＞yyxx；当210xx＜＜时，0))((2121＜yyxx.以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C.ABC△有一个内角为60.①求抛物线的解析式；②点P与点O关于点A对称，NMO，，三点共线，求证：PA平分MPN.（1）解：∵抛物线经过0(A，)2，∴2c；又∵点2(，)0在抛物线上∴0222ba)0(a（2）①解：∵021＜＜xx，0))((2121＞yyxx，∴021＜xx，021＜yy；∴当021＜＜xx时，21yy＜，即当0＜x时，y随着x的增大而增大；∵210xx＜＜，0))((2121＜yyxx，∴021＜xx，021＞yy；∴当210xx＜＜时，21yy＞，即当0＞x时，y随着x的增大而减小；∴0＜a，且抛物线的对称轴为直线0x，∴02ab，∴0b，∴这时抛物线解析式为22axy①；如图，根据对称性可知ACAB，又∵ABC△有一个内角为60，∴ABC△为等边三角形；连接OC，过C点作xCD轴于点D，则有2OAOC，120AOC，∴3090120COD，∴在CODRt△中，121OCCD，3OD，∴，3(C)1将，3(C)1代入①，得123a∴1a，∴抛物线的解析式为22xy.②解：由①得，)2(211xxM，，)2(222xxN，，∵NMO，，三点花线，∴，，0021xx且22212122xxxx∴212121)(2xxxxxx，∵21xx，∴221xx，122xx，∴)242(211xxN，；∵点P和点O关于点A对称，∴)40(，P过点M作yME轴于E，过点N作yNF轴于F，则有90PFNPEM，)20(21xE，，)240(21xF，∵在PEM△中，21212)2(4xxPE，1xME，∴2112xxPEME；∵在PFN△中，21212142)24(4xxxPF，12xNF=12x，∴211212112422xxxxxPFNF；∴PFNFPEME，∴PFNRtPEMRt△∽△，∴NPFMPE，∴PA平分MPN.注：专家组给出的答案是用对称点来考虑，这里用相似三角形的思想.