2.3等差数列前n项和及其性质课件

2.3等差数列的前n项和及其性质1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.学习目标等差数列的前n项和公式:2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（公式一:公式二:复习回顾思考：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa常用常考等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2dnd1nnaa理解并识记识记性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,SS奇偶性质3:为等差数列.{}nSnan1nn识记理解并识记等差数列的性质应用：例1、已知一个等差数列前n项和为25，前2n项的和为100，求前3n项和。练习：设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差数列{an}前n项和的性质的应用等差数列的性质应用：探究已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为66，求中间项及总项数。解：由中间项SS奇偶得中间项为11又由143SS奇偶得13n等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－20,a1=130∴a70,a80例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=.153等差数列{an}前n项和的应用212nSnn思考已知数列前n项和，（1）求证：为等差数列；（２）记数列的前项和为，求的表达式.}{na}{nanTnT}{na例.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。1.根据等差数列前n项和，求通项公式.1112nnnanaSSn2、结合二次函数图象和性质求的最值.ndandSn)2(2123.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2d0nd1nnaa－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,SS奇偶两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质5:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST练习.已知正整数数列中,前n项和满足na,)3(1212nnaSnSna求证:为等差数列.分层训练练习.已知数列的首项a１＝１,其前n项和sn和an之间的关系满an＝)2(1222nSSnnnS1(1)求证:为等差数列；(2)求{an}的通项公式.na练习.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn等差数列{an}前n项和的性质的应用练习.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d013a1+13×6d02437d等差数列{an}前n项和的性质(2)∵11(1)2nSnannd1(122)(1)2ndnnd25(12)22ddnn∴Sn图象的对称轴为5122nd由(1)知2437d由上得51213622d1362n即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值作业P46A组5,B组2,4（选做）