泛函与变分原理导引

泛函与变分原理导引HongxinZhang2007-06-14StateKeyLabofCAD&CG,ZJU内容提要z变分命题与一般极值问题z泛函的极值问题与欧拉方程，变分法基本定理z自然边界问题z拉格朗日乘子法变分命题与一般极值问题z历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可统称为变分法z两点间的最短连线问题z最速下降线问题z短程线问题z…两点间的最短连线问题z为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”？Oxyy=y(x)两点间的最短连线问题z为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”？z问题的假设：z二维平面空间，一点是坐标原点(0,0)，一点在(a,b)z两点间的连接曲线是y=y(x)z曲线的弧长微元是或z曲线的总弧长是222dddsxy=+2dd1ddysxx⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠21/20(1')dasyx=+∫s是标量，是y’(x)的一个广义函数，称为泛函，可记为s(y’)两点间的最短连线问题z问题的数学描述：找出具有曲线y(x)使得z同时必须满足端点约束条件(constraintcondition)21/20min(1')dayyx′+∫(0)00()yxyabxa==⎧⎨==⎩最速降线(brachistochrone)问题z由伯努利于310多年前以公开信的形式提出z问题描述：z设有两点A、B不在同意铅垂线上，在A、B两点间连接一条曲线，有一重物沿去曲线从A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，问怎样的曲线使得从A到B的自由下滑时间最短？z该曲线被称为最速降线z显然不是直线段oxyABP(x,y)v最速降线(brachistochrone)问题z问题的设定：z设点A与原点重合，点B的坐标是(a,b)，重物从A点下落到P(x,y)点时，其速度是vz重物质量是m，加速度是gz从A到P点时：z失去的势能是mgyz获得的动能是mv2/2z由能量守恒oxyABP(x,y)v2vgy=最速降线(brachistochrone)问题z推导：z用s表示从点A到点P点的弧长，则z因此可知z从点A到点B的总时间是oxyABP(x,y)vd2dsvgyt＝＝2d1dd12d2sytdxgyxgy⎡⎤⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦＝2001dd1d2daayTtxgyx⎡⎤⎛⎞==+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∫∫最速降线(brachistochrone)问题z变分命题描述z从点A到点B的总时间是zT是y(x),y’的泛函z满足oxyABP(x,y)v2001dd1d2daayTtxgyx⎡⎤⎛⎞==+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∫∫(0)0,()yyab==变分命题(I)z变分命题的实质是求泛函的极值问题z注释：z在泛函的积分端点上，y(x)的数值已定，即y(0)=0,y(a)=b.这种变分被称为边界已定的变分，是一种最常见的变分。z在定义中y’必须存在，至少是分段连续。z这种变分除端点为定值的端点条件外，并无其他约束条件，是最简单的变分问题。测地线(geodesicline)问题z设φ(x,y,z)=0为一已知曲面，求曲面φ(x,y,z)=0上所给任意两点A、B间长度最短的曲线，这个最短曲线就被称为测地线，或称为短程线。z球面（如地球表面）上任意两点的测地线即为通过两点的大圆测地线(geodesicline)问题z设定：与两点间的曲线长度为z其中y=y(x),z=z(x)满足φ(x,y,z)=0z变分命题：选取函数y(x),z(x)z在满足φ(x,y,z)=0的条件下z使泛函L最小2122dd1dddxxyzLxxx⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫111(,,)Axyz222(,,)Bxyz变分命题(II)z与前两个问题的区别：z测地线问题中有两个待定函数z两个待定函数必须满足落在曲面上这一约束条件z这种变分被称为约束变分(constrainedvariation),或者称为条件变分(conditionalvariation)变分命题(II)z第一类变分问题：z被积函数包括一阶导数的变分问题z满足端点约束条件z在所有的足够光滑函数y(x)中，求使以下泛函为极值z第二类变分问题：z两个待定函数：y(x)，z(x)z满足约束条件：φ(x,y,z)=0z满足端点约束条件z在所有的足够光滑函数y(x)，z(x)中，求使以下泛函为极值()(,,')dyFxyyxβα∏=∫(,)(,,',,')dyzFxyyzzxβα∏=∫变分命题(III)z函数：f(x)是变量x的实函数，即在其定义域内，任一x值都有一个实数f(x)与之对应z泛函：Π(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应z变分命题：寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值z变分方法：设使泛函取得极值的函数y(x)存在，通过变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程变分命题(III)z对函数而言，一阶导数为零的极值条件给出的是相对极大或相对极小，而不是绝对极大或绝对极小z在变分法中，泛函的极值条件给出的也只是相对极大或相对极小z导数为零只是必要条件变分法中的符号z给定函数y(x)z宗量：xz函数：y(x)z宗量的增量：Δxz函数的增量：zΔy＝y(x+Δx)-y(x)z当两点无限接近：zΔx→dx，Δy→dyz略去高阶微量：zdy＝y’(x)dxz当在x处取得函数极值zdy＝0z给定泛函Π(y)z宗量：yz泛函：Π(y)z函数的变分：δyz泛函的变分：zδΠ＝Π(y+δy)-Π(y)z在计算δΠ时可以展开Π(y+δy)中的被积函数只保留线性项z当在y处取得泛函极值zδΠ＝0函数y(x)在定义域内与y(x)+δy(x)处处无限接近函数曲线的接近度z在定义域α≤x≤β内，给定两条函数曲线y(x)和y1(x)z零阶接近度z在每一点处y(x)和y1(x)纵坐标都很接近；y(x)-y1(x)处处很小z一阶接近度z在每一点处同时y(x)和y1(x)的斜率也很接近；y’(x)-y’1(x)处处很小z二阶接近度zy”(x)-y”1(x)处处很小函数曲线的接近度z当泛函的被积函数是F(x,y,y’)时，函数y要求有一阶接近度z可取δy，δy’都是同级的微分量z当泛函的被积函数是F(x,y,y’,y”)时，函数y要求有二阶接近度z可取δy，δy’，δy’’都是同级的微分量第一类变分问题z设函数y(x)是下式的极值解z且满足端点条件z设其邻近的函数y(x)+δy(x)也满足端点条件z因此端点变分满足z泛函的变分为()(,,')dyFxyyxβα∏=∫12(),()yyyyαβ==()()0yyδαδβ=={}()()(,,'')(,,')dyyyFxyyyyFxyyxβαδδδδ∏=∏+−∏=++−∫内容提要z变分命题与一般极值问题z泛函的极值问题与欧拉方程，变分法基本定理z自然边界问题z拉格朗日乘子法第一类变分问题z根据微量计算规则，设y(x)和y(x)+δy(x)是有一阶接近的曲线z引入简写符号z可得(,,'')(,,')(,,')(,,')''FxyyyyFxyyFxyyyFxyyyyyδδδδ⎡⎤⎡⎤∂∂++=++⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦'(,,'),(,,'),(,,')'yyFFxyyFFxyyFFxyyyy∂∂===∂∂''yyFFyFyδδδ=+第一类变分问题z泛函的变分为：z下面将证明函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：'d'dyyFxFyFyxββααδδδδ⎡⎤Π==+⎣⎦∫∫()''yyδδ=第一类变分问题z证明zHint：图中G点纵坐标有计算方法z其一从C点的纵坐标计算z其二从F点的纵坐标计算()''yyδδ='d('d)'d'dyyxyyxyyyxyxδδδ+++=+++d()d'd()'ddyyyyxyyyxyxxδδδδ+++=+++第一类变分问题z由上页结论：z对等式右边的第二部分进行分部积分有z根据端点约束条件上式第二部分等于0，由此得'd()'dyyFxFyFyxββααδδδδ⎡⎤Π==+⎣⎦∫∫'''d()'d()d|dyyyFyxFyxFyxβββαααδδδ=−+∫∫'dddyyFFyxxβαδδ⎡⎤Π=−⎢⎥⎣⎦∫可进一步简化变分法基本预备定理z如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续，且对于满足以下一般条件的任意选定的函数δy(x)，有z则在线段上(x1,x2)上z变分δy(x)的一般条件为：z至少一阶可微；z在线段(x1,x2)的端点处；z|δy(x)|ε或|δy(x)|及|δy’(x)|021()()d0xxFxyxxδ=∫()0Fx=变分法基本预备定理z证明：采用反证法。假设F(x)在点处不等于零。选取附近小邻域使得在此区域内F(x)不改变正负号。xx=xx=12[,]xx如图选取δy(x)使得1122221212()0,;()()(),nnyxxxxxxxyxkxxxxxxxδδ=≤≤≤≤⎧⎨=−−≤≤⎩变分法基本预备定理z可见构造函数满足所设条件。但是容易验证z与条件矛盾，所以z得证22112212()d()()()d0xxnnxxFyxxFxkxxxxxδ=−−≠∫∫()0Fx≡变分法基本预备定理(多变量版本)z如果函数F(x,y)在定义域s上连续，设δz(x,y)在s域的边界上为零，|δz(x,y)|ε，|δzx|ε，|δzy|ε，还满足至少一阶或更高阶可微，且z则在定义域s上(,)(,)ddy0sFxyzxyxδ=∫∫(,)0Fxy=变分问题的欧拉方程z由预备定理可知z如果展开z其中F(x,y,y’)必须具有二阶偏导数，y(x)也必须具有二阶偏导数。由此把变分问题转化为微分方程求解'd0,dyyFFxxαβ−=≤≤'ddyFx222'''0''yFFFFyyxyyyyx∂∂∂−−−=∂∂∂∂∂∂变分法求解(1)最短连线问题z其变分极值问题为z略去δy’的高次微量得z分部积分，并利用δy(0)＝0，δy(a)＝0，得1/21/222001('')d1'dyyxyxααδδ⎡⎤⎡⎤Π=++−+⎣⎦⎣⎦∫∫1/202''d01'yyxyαδδ+Π==⎡⎤+⎣⎦∫()1/202d'd0d1'yyxxyαδδ⎡⎤⎢⎥Π=−=⎢⎥+⎣⎦∫变分法求解(1)最短连线问题z由变分法预备定理，给出以下微分方程z积分得z由端点约束条件即得()1/22d'0d1'yxy⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦()1/22'1'yconsty≡+'yconst≡byxa=变分法求解(2)最速降线问题z可得泛函的变分为z把δy，δy’作为微量展开1/21/22200111('')d1+'d2()2aaTyyxyxgyygyδδδ⎡⎤⎡⎤=++−⎣⎦⎣⎦+∫∫1/21/22221/21/2221('')1'''[(1']11'()2yyyyyyyyyyyyOyyδδδδδ⎡⎤⎛⎞+++=+⎜⎟⎢⎥++⎣⎦⎝⎠⎡⎤+−+⎢⎥⎣⎦变分法求解(2)最速降线问题z略去高次微量得z进行分部积分，并利用边界条件1/221/2021'11''d022(1')ayyTyyxyygyyδδδ⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=−=⎨⎬⎢⎥⎡⎤⎣⎦+⎪⎪⎣⎦⎩⎭∫202111'd'd02d2(1')ayyTyxyyxgyyδδ⎧⎫⎡⎤+⎪⎪⎢⎥=−+=⎨⎬⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭∫变分法求解(2)最速降线问题z由变分法预备定理，给出以下微分方程z该方程可改写为z进一步化简得2211'd'02d(1')yyyyxyy⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥+⎣⎦222d'1'0d(1')yyxyyy⎧⎫+⎪⎪−=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭2d(1')xyyd10⎧⎫⎪⎪=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭变分法求解(2)最速降线问题z两边积分可得z进一步做变量代换，令y’＝cott有z而z积分可得2(1')yyC+=22sin(1cos2)21'CCyCtty===−+2d2sincosdd2sind(1cos2)d'cotyCtttxCttCttyt====−1(2sin2)2CxttC=−+变分法求解(2)最速降线问题z代入端点条件y(0)=0，x(0)=0，则得C1=0.z再做变