5点的运动学

基本要求：1明确并理解点的速度、加速度的定义。2正确运用直角坐标法和自然法建立点的运动方程，会求点的轨迹。3能熟练运用给出的运动条件和几何条件求解包括速度、加速度在内的各运动量。重点：难点：1直角坐标法和自然法描述点的运动，以及求点的速度和加速度。2切向与法向加速度的物理意义与计算。自然轴系的理解与认识。第二篇运动学运动学：研究物体运动几何性质（轨迹、运动方程、速度、加速度等）的科学。物体在不平衡力系作用下运动受力情况初始状态物体惯性参考体——研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为参考，这个参考的物体称为参考体。参考系——与参考体固连的坐标系点的运动1.直线运动2.曲线运动（圆周运动）1.平动2.定轴转动3.平面运动刚体的运动点的运动点相对某一参考系的运动点的运动点的合成运动刚体的运动刚体的简单运动刚体的运动刚体平面运动第五章点的运动学矢量法（用于公式推导）直角坐标法（便于写出运动方程）自然法（便于求解圆周运动的速度、加速度）§5-1矢量法rrt运动方程单位m/s速度ddrvrt加速度单位2m/s22ddddvravrtt提问：如何确定速度和加速度的方向？MOr动点矢径矢端曲线——动点M的运动轨迹速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线速度矢端曲线直角坐标与矢径坐标之间的关系()()()rtxtiytjztk运动方程()()()xxtyytzzt§5-2直角坐标法ddxxvtddyyvtddzzvtddddddddxyzrxyzvijkvivjvktttt速度()()()rtxtiytjztk22yyvyattdddd22zzvzattdddd22xxvxattdddd加速度ddddddddyxzxyzvvvvaijkaiajaktttt例5-1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。求：①M点的运动方程；②轨迹；③速度；④加速度。,,OCACBClMCat。已知：解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。运动方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去t,得轨迹1)((2222alyalx）求：运动方程、轨迹、速度和加速度。,,OCACBClMCat。已知：例5-1速度talxvxsintalyvycos)(22()sincos(,)2cos2xvlatvivlaalt22()coscos(,)2cos2yvlatvjvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt已得：例5-1talysin)(talxcos)(加速度talxvaxxcos2talyvayysin2taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos2laalt22()coscos(,)2cos2xalataialaalt22()sincos(,)2cos2yalatajalaalt已得：例5-1talvycos)(talvxsin)(例5-2正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为φ=ωt+θ,其中θ为t=0时的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。求：点A和B的运动方程点B的速度和加速度解：A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。运动方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxB求：①A，B点运动方程；②B点速度、加速度。,,,OMrtABb常数。已知：例5-2()xtTxtB点的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx周期运动频率Tf1已得：例5-2)sin(trbxA)sin(trxB例5-3如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度（为活塞的速度，k为比例常数)，初速度求活塞的运动规律。akvv0v00,takvvvxt已知：。求：。解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示ddvakvt由00ddvtvvktv得00ln,ktvktvvev0ddktxvvet由tevxktxxtdd000得ktekvxx100例5-3分析齿轮上一点的运动分析齿轮上点M的运动xyOrθMωθ=ωtxyx=rcosωty=rsinωt运动方程消去t,得轨迹x2+y2=r2§5-3自然法()sft1.弧坐标自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们描述和分析点的运动的方法。以弧坐标表示动点M的运动方程。参考点动点自然法()sft1.弧坐标副法线单位矢量bn切向单位矢量n主法线单位矢量2.自然轴系切线、主法线、副法线组成的正交轴系(指向凹侧)自然坐标轴的几何性质由于点M在运动，自然坐标系是沿曲线变动的游动坐标系τ，n，b也在变动，3.点的速度t0,速度大小为动点弧坐标对时间导数的绝对值。tsvdd是代数量，v0,s随t增大而增大，向正向运动曲线运动轨迹的曲率或曲率半径是一个重要的参数，表示曲线的弯曲程度。曲率——曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值sssddlim10ρ为曲率半径(在主法线上)Δτ因为222sin2当0,0s又因为1所以nnsssss1limlimdd00sssddlim10(与同方向)nΔτddddddvvavttt4.加速度ddddddsvntst代入2ddtnvvanaant则nρsτ1dd22tnaaa22ddddtvsatt—切向加速度221ddnvsat—法向加速度曲线匀速运动0000,,tavvssvt常数曲线匀变速运动20001,,2tttavvatssvtat常数2ddtnvvanaant例5-4列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如图。215ms=0.125ms120stvat2220.308mstnaaa①0,0nat20.125mstaa②120smin2t222(15ms)=0.281ms800mnvaR00,0ttavv常数已知：R=800m=常数，2min54kmhtv。02min,ttaa求：。0,0tav由常数tavt有例5-4解：由点M的运动方程，得txatxvxx4sin32,4cos8tyatyvyy4cos32,4sin84,0zzvzaz222222280ms,32msxyzxyzvvvvaaaa从而2d0,32msdtnvaaat而22.5mnva故例5-5已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm。求：点运动轨迹的曲率半径。2nva例5-6半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角φ=ωt(ω=常值)，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。OCMCrrtttrMOOCxsinsin1trMOCOycos1cos11,,rt已知：常数。求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。例5-6由纯滚动条件M点的运动方程——摆线（旋轮线）方程D1cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1(222ttrtrvvvyx（已得：例5-6)sin(ttrx)cos1(try速度002sin4(1cos)(02)22ttttsvdtrdtrt弧坐标表示的运动方程1cos,sinxyvxrtvyrt)202sin222ttrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrt222raaayx已得：例5-6加速度点M的切向加速度为2cos2ttavr222sin2nttaaar法向加速度为全加速度5-2,5-6,5-7,5-8作业