第7章-点的运动学

第二篇运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。第七章点的运动学•点的运动的矢径法•点的运动的直角坐标法•点的运动的自然法第二篇运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。第七章点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。8.1点的运动的矢径法一、点的运动方程如图，动点M沿其轨迹运动，在瞬时t，M点在图示位置。参考体OMr由参考点O向动点M作一矢量，则称为动点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。OMrr8.1点的运动的矢径法一、点的运动方程如图，动点M在运动过程中，由矢端描绘出的连续曲线，称为矢端曲线。在瞬时t，M点在图示位置。参考体OMr于是动点矢径形式的运动方程为)(trr显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。8.1点的运动的矢径法二、点的速度ABOMM)(tr)(ttrrvv)()(trttrrMM则trv表示动点在时间间隔内运动的平t均快慢和方向，称为点的平均速度。当时，平均速度的极限矢量称为动点在t瞬时的速度。即0trdtrdtrvvtt00limlim即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿矢端曲线（轨迹）的切线方向。如图，动点M在时间间隔内的位移为t8.1点的运动的矢径法二、点的速度ABOMM()vtvMva称为速度矢端曲线（也称速度端图），它描述了运动中点速度矢大小和方向的变化图像。若在空间任取参考点O，将动点M在不同瞬时的速度矢都平行画在O点，得矢量等，连接矢量端点()vtvvMMM等，得到的连续曲线8.1点的运动的矢径法三、点的加速度MMvvvvaa如图，动点M在时间间隔内速度矢量的改变量为tvvv则tva表示动点的速度在时t内的平均变化率，称为间间隔平均加速度。当时，平均加速度的极限矢量称为动点在t瞬时的加速度。即0trvdtvdtvaatt00limlim即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。8.2点的运动的直角坐标法一、点的运动方程OxyzijkrMxyz如图，在参考体上建立直角坐标系。则)(1tfx)(2tfy)(3tfz这就是直角坐标形式的点的运动方程。由运动方程消去时间t可得两个柱面方程：0),(1yxF0),(2zyF这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。8.2点的运动的直角坐标法二、点的速度在直角坐标轴上的投影OxyzijkrMxyz由图可知，动点的矢径为kzjyixr将上式两边对时间求导，可得kdtdzjdtdyidtdxdtrdv将动点的速度表示为解析形式，则有kvjvivvzyx比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影xdtdxvxydtdyvyzdtdzvz这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。8.2点的运动的直角坐标法二、点的速度在直角坐标轴上的投影若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxv其方向余弦为vzkvvyjvvxiv),cos(),cos(),cos(8.2点的运动的直角坐标法三、点的加速度在直角坐标轴上的投影由于加速度是速度对时间的一阶导数，则kdtdvjdtdvidtdvkdtzdjdtydidtxdazyx222222将动点的加速度表示为解析形式，则有kajaiaazyx比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影xdtxddtdvaxx22ydtyddtdvayy22zdtzddtdvazz22这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。8.2点的运动的直角坐标法若已知加速度的投影，则加速度的大小为三、点的加速度在直角坐标轴上的投影222222zyxaaaazyx其方向余弦为azkaayjaaxia),cos(),cos(),cos(8.2点的运动的直角坐标法例1ABMRO杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。tABMOxy2解：建立如图所示的直角坐标。则2cos2sinRyRx即为小环M的运动方程。tRytRx2cos2sin即tRxvx2cos2tRyvy2sin28.2点的运动的直角坐标法例1故M点的速度大小为Rvvvyx222ABMOxy2vxvyv其方向余弦为2cos),cos(vvivx2sin),cos(vvjvy如图。xtRvaxx2242sin4ytRvayy2242cos4故M点的加速度大小为2224Raaayx且有rjyixjyixa22224)(444加速度的方向如图。a8.2点的运动的直角坐标法例2半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度为已知值u，试分析轮子边缘一点M的运动。MMRo8.2点的运动的直角坐标法取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinROMACx)cos1(cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。oRCAxyM例28.2点的运动的直角坐标法例2M点的速度为：jRiRjyixv)sin()cos1(其中可由轮心速度求出：RdtRdxuO/)(当M点与地面接触，即时，M点速度等于零。k2oRCAxyM此时M点的加速度是否为零？为什么？8.3点的运动的自然法一、运动方程OMs)()(设动点M的运动轨迹如图。S——弧坐标当动点运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即)(tfs这就是自然坐标形式的点的运动方程。8.3点的运动的自然法二、曲率和曲率半径M)()(Ms图示空间曲线，表明曲线在弧长内弯曲的程度。MMssk称为的平均曲率。MMs当点趋近于M点时，平均曲率的极限值就是曲线在M点的曲率，即Msks0limM点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径，即sk0lim18.3点的运动的自然法三、自然轴系M)()(Ms密切面法面切线主法线副法线Mnb如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即nb自然轴系不是固定的坐标系。8.3点的运动的自然法四、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法dsrddtdsdsdsdtrddtrdv由于dsrd所以vtsdtdst0limdtdsvv即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当为正时指向与相同，反之，与相反。dtds8.3点的运动的自然法M)()(Msdtdvdtdvvdtddtvda)(五、用自然法表示点的加速度8.3点的运动的自然法limlimlimlimlim12sin2limlim11ttttt0000000dsdtttsstsdsdvddtddddddtn五、用自然法表示点的加速度8.3点的运动的自然法五、用自然法表示点的加速度由点的加速度的矢径法dtdvdtdvvdtddtvda)(由于nvdtd所以nvdtdva2上式表明加速度矢量是由两个分矢量组成：分矢量的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。adtdvanvan28.3点的运动的自然法五、用自然法表示点的加速度加速度在三个自然轴上的投影为sdtsddtdva222van0ba全加速度位于密切面内，其大小为22222)()(vdtdvaaan方向余弦为aaa),cos(aanan),cos(8.3点的运动的自然法ABMRO杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。t解：建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为例3ABM2OstRRs2)2(速度为Rdtdsv2v加速度为0dtdva2224)2(RRRvana例4一点作平面曲线运动，其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下，点的加速度的大小为。其中v为点的速度的大小，为轨迹的曲率半径。Cva3xvanaM证明：设点沿图示曲线运动，速度和加速度如图。由已知条件得Cvcos（1）由于速度在x轴上的投影始终为一常数，所以0xa由于0sincosnxaaa所以tgaan例4cos1222nnnatgaaaa于是可得因为2van所以cos2va将（1）式代入上式得证毕。3va=cρ8.2点的运动的综合应用例5铅直导杆以匀速v0向右运动，并带动销钉M沿着抛物线x=y2/3的槽运动，如图（4a）所示，其中x,y以m计。试求y=2m处轨迹的曲率半径ρ和销钉M在该位置的切向加速度。解：根据题意，销钉沿x轴的运动方程为x=v0t；轨迹方程为OxyMx=y2/3Oxyvτααaanaty2=3x8.2点的运动的综合应用例5Oxyvτααaanaty2=3x两式对时间求导2222223294000xvxyyvxyvvy代入y=2m，得销钉在该处的速度为22291.254000vvvv