用数学软件Mathematica做线性代数

用数学软件Mathematica做线性代数作者：徐小湛四川大学数学学院[e-mail]目录前言第一章行列式行列式Det[A]克拉默法则第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算矩阵的乘法A.B矩阵的转置Transpose[A]逆矩阵Inverse[A]矩阵方程第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的行最简形RowReduce[A]矩阵的秩MatrixRank[A]齐次线性方程组基础解系NullSpace[A]非齐次线性方程组求特解LinearSolve[A,b]用Solve求线性方程组的解第四章向量组的线性相关性向量的线性表示极大无关组第五章相似矩阵及二次型正交矩阵矩阵的特征值Eigenvalues[A]矩阵的特征向量Eigenvectors[A]矩阵的对角化矩阵的正交化Orthogonalize[P]二次型的标准化参考文献前言Mathematica是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。本文档用Mathematica来进行线性代数中的各种运算。本文档中所有的例子都是用Mathematica7编程和计算的，有的命令在版本较低的Mathematica可能无法执行。另外，有的运算结果拷贝到Word时，格式有些变化，但是在Mathematica中的输出格式没有问题。如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件与作者讨论。邮箱：[e-mail]2010-9-4返回目录第一章行列式行列式Det[A]例计算三阶行列式124221342A（同济5版，3页）输入：A={{1,2,-4},{-2,2,1},{-3,4,-2}}；Det[A]输出：-14例计算四阶行列式3112513420111533A（同济5版，12页）输入：A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]输出：40例求解方程211123049xx（同济5版，3页）输入：A:={{1,1,1},{2,3,x},{4,9,x^2}}Solve[Det[A]0,x]输出：{{x2},{x3}}例计算行列式2324323631063abcdaababcabcdaababcabcdaababcabcd（同济5版，13页）输入：A={{a,b,c,d},{a,a+b,a+b+c,a+b+c+d},{a,2a+b,3a+2b+c,4a+3b+2c+d},{a,3a+b,6a+3b+c,10a+6b+3c+d}};A//MatrixForm（给出A的矩阵形式）Det[A]输出：(\[NoBreak]{{a,b,c,d},{a,a+b,a+b+c,a+b+c+d},{a,2a+b,3a+2b+c,4a+3b+2c+d},{a,3a+b,6a+3b+c,10a+6b+3c+d}}\[NoBreak])（给出A的矩阵形式）a4例计算行列式000000000000000000000000abababcdcdcd（同济5版，15页）输入：A={{a,0,0,0,0,b},{0,a,0,0,b,0},{0,0,a,b,0,0},{0,0,c,d,0,0},{0,c,0,0,d,0},{c,0,0,0,0,d}};A//MatrixFormDet[A]Factor[%]（将结果因式分解）输出-b3c3+3ab2c2d-3a2bcd2+a3d3-(bc-ad)3例计算范德蒙行列式1234522222123453333312345444441234511111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（同济5版，18页）输入：Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]%//MatrixFormDet[Van]输出：{{1,1,1,1,1},{x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]},{x[1]2,x[2]2,x[3]2,x[4]2,x[5]2},{x[1]3,x[2]3,x[3]3,x[4]3,x[5]3},{x[1]4,x[2]4,x[3]4,x[4]4,x[5]4}}(\[NoBreak]{{1,1,1,1,1},{x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]},{x[1]2,x[2]2,x[3]2,x[4]2,x[5]2},{x[1]3,x[2]3,x[3]3,x[4]3,x[5]3},{x[1]4,x[2]4,x[3]4,x[4]4,x[5]4}}\[NoBreak])x[1]4x[2]3x[3]2x[4]-x[1]3x[2]4x[3]2x[4]-x[1]4x[2]2x[3]3x[4]+x[1]2x[2]4x[3]3x[4]+x[1]3x[2]2x[3]4x[4]-x[1]2x[2]3x[3]4x[4]-x[1]4x[2]3x[3]x[4]2+x[1]3x[2]4x[3]x[4]2+x[1]4x[2]x[3]3x[4]2-x[1]x[2]4x[3]3x[4]2-x[1]3x[2]x[3]4x[4]2+x[1]x[2]3x[3]4x[4]2+x[1]4x[2]2x[3]x[4]3-x[1]2x[2]4x[3]x[4]3-x[1]4x[2]x[3]2x[4]3+x[1]x[2]4x[3]2x[4]3+x[1]2x[2]x[3]4x[4]3-x[1]x[2]2x[3]4x[4]3-x[1]3x[2]2x[3]x[4]4+x[1]2x[2]3x[3]x[4]4+x[1]3x[2]x[3]2x[4]4-x[1]x[2]3x[3]2x[4]4-x[1]2x[2]x[3]3x[4]4+x[1]x[2]2x[3]3x[4]4-x[1]4x[2]3x[3]2x[5]+x[1]3x[2]4x[3]2x[5]+x[1]4x[2]2x[3]3x[5]-x[1]2x[2]4x[3]3x[5]-x[1]3x[2]2x[3]4x[5]+x[1]2x[2]3x[3]4x[5]+x[1]4x[2]3x[4]2x[5]-x[1]3x[2]4x[4]2x[5]-x[1]4x[3]3x[4]2x[5]+x[2]4x[3]3x[4]2x[5]+x[1]3x[3]4x[4]2x[5]-x[2]3x[3]4x[4]2x[5]-x[1]4x[2]2x[4]3x[5]+x[1]2x[2]4x[4]3x[5]+x[1]4x[3]2x[4]3x[5]-x[2]4x[3]2x[4]3x[5]-x[1]2x[3]4x[4]3x[5]+x[2]2x[3]4x[4]3x[5]+x[1]3x[2]2x[4]4x[5]-x[1]2x[2]3x[4]4x[5]-x[1]3x[3]2x[4]4x[5]+x[2]3x[3]2x[4]4x[5]+x[1]2x[3]3x[4]4x[5]-x[2]2x[3]3x[4]4x[5]+x[1]4x[2]3x[3]x[5]2-x[1]3x[2]4x[3]x[5]2-x[1]4x[2]x[3]3x[5]2+x[1]x[2]4x[3]3x[5]2+x[1]3x[2]x[3]4x[5]2-x[1]x[2]3x[3]4x[5]2-x[1]4x[2]3x[4]x[5]2+x[1]3x[2]4x[4]x[5]2+x[1]4x[3]3x[4]x[5]2-x[2]4x[3]3x[4]x[5]2-x[1]3x[3]4x[4]x[5]2+x[2]3x[3]4x[4]x[5]2+x[1]4x[2]x[4]3x[5]2-x[1]x[2]4x[4]3x[5]2-x[1]4x[3]x[4]3x[5]2+x[2]4x[3]x[4]3x[5]2+x[1]x[3]4x[4]3x[5]2-x[2]x[3]4x[4]3x[5]2-x[1]3x[2]x[4]4x[5]2+x[1]x[2]3x[4]4x[5]2+x[1]3x[3]x[4]4x[5]2-x[2]3x[3]x[4]4x[5]2-x[1]x[3]3x[4]4x[5]2+x[2]x[3]3x[4]4x[5]2-x[1]4x[2]2x[3]x[5]3+x[1]2x[2]4x[3]x[5]3+x[1]4x[2]x[3]2x[5]3-x[1]x[2]4x[3]2x[5]3-x[1]2x[2]x[3]4x[5]3+x[1]x[2]2x[3]4x[5]3+x[1]4x[2]2x[4]x[5]3-x[1]2x[2]4x[4]x[5]3-x[1]4x[3]2x[4]x[5]3+x[2]4x[3]2x[4]x[5]3+x[1]2x[3]4x[4]x[5]3-x[2]2x[3]4x[4]x[5]3-x[1]4x[2]x[4]2x[5]3+x[1]x[2]4x[4]2x[5]3+x[1]4x[3]x[4]2x[5]3-x[2]4x[3]x[4]2x[5]3-x[1]x[3]4x[4]2x[5]3+x[2]x[3]4x[4]2x[5]3+x[1]2x[2]x[4]4x[5]3-x[1]x[2]2x[4]4x[5]3-x[1]2x[3]x[4]4x[5]3+x[2]2x[3]x[4]4x[5]3+x[1]x[3]2x[4]4x[5]3-x[2]x[3]2x[4]4x[5]3+x[1]3x[2]2x[3]x[5]4-x[1]2x[2]3x[3]x[5]4-x[1]3x[2]x[3]2x[5]4+x[1]x[2]3x[3]2x[5]4+x[1]2x[2]x[3]3x[5]4-x[1]x[2]2x[3]3x[5]4-x[1]3x[2]2x[4]x[5]4+x[1]2x[2]3x[4]x[5]4+x[1]3x[3]2x[4]x[5]4-x[2]3x[3]2x[4]x[5]4-x[1]2x[3]3x[4]x[5]4+x[2]2x[3]3x[4]x[5]4+x[1]3x[2]x[4]2x[5]4-x[1]x[2]3x[4]2x[5]4-x[1]3x[3]x[4]2x[5]4+x[2]3x[3]x[4]2x[5]4+x[1]x[3]3x[4]2x[5]4-x[2]x[3]3x[4]2x[5]4-x[1]2x[2]x[4]3x[5]4+x[1]x[2]2x[4]3x[5]4+x[1]2x[3]x[4]3x[5]4-x[2]2x[3]x[4]3x[5]4-x[1]x[3]2x[4]3x[5]4+x[2]x[3]2x[4]3x[5]4结果太复杂，应化简。输入：Det[Van]//Simplify（化简以上结果）或Factor[Det[Van]]（因式分解以上结果）结果：(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])返回目录克拉墨法则例用克拉默法则解线性方程组：123412423412342583692254760xxxxxxxxxxxxxx（同济5版，22页）输入：A={{2,1,-5,1},{1,-3,0,-6},{0,2,-1,2},{1,4,-7,6}};A1={{8,1,-5,1},{9,-3,0,-6},{-5,2,-1,2},{0,4,-7,6}};A2={{2,8,-5,1},{1,9,0,-6},{0,-5,-1,2},{1,0,-7,6}};A3={{2,1,8,1},{1,-3,9,-6},{0,2,-5,2},{1,4,0,6}};A4={{2,1,-5,8},{1,-3,0,9},{0,2,-1,-5},{1,4,-7,0}};D0=Det[A]D1=Det[A1]D2=Det[A2]D3=Det[A3]D4=Det[A4]x1=D1/D0x2=D2/D0x3=D3/D0x4=D4/D0输出