可线性化的回归分析

远东二中：李建章叙利亚战争陪葬品还算和平的苦难童年利比亚战争陪葬品受苦的阿富汗童工内乱中的叙利亚死难者如今的叙利亚城镇会将非线性回归模型经过变换转化为线性回归模型，进而进行回归分析．学习本节后还应初步会将简单的非线性回归问题转化为线性回归问题．(重点、难点)【课标要求】【核心扫描】当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助于散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决．1．可线性化的回归分析(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或相关系数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程．2．解决非线性回归问题的方法及步骤：复习回顾1122211()()()()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx11niixxn11niiyyn其中，复习回顾＊线性相关系数r及性质：值越大，变量的线性相关程度就越高；值越接近于0，线性相关程度就越低。rr＊，其中。niiniiniiiynyxnxyxnyxr122122111r当时，两变量正相关；当时，两变量负相关；当时，两变量线性不相关。0r0r0r＊1、下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y与x之间的关系．母亲身高女儿身高cm154157158159160161162163cm155156159162161164165166练习1541571638159.25x1551561668161y82222218()1541638159.2559.5iixx82222218()1551668161116iiyy8181541551631668159.2516180iiixyxy解：，，，963.01165.5980r，所以：xy,ab所以可以认为与之间具有较强的线性相关的关系．线性回归模型y=a+bx中81822181.345,8iiiiixyxybxx53.191aybxxy345.1191.53线性回归方程为．新课讲解下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我国的出口贸易量么？从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好，若用直线来预测，误差将会很大。而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。分析：考虑函数来拟合数据的变化关系，将其转化成线性函数，两边取对数：bxaeybxaylnln即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为x=2，‥变换后的数据如下表：设，则上式变为，acyuln,lnbxcu对上表数据求线性回归方程得：即：,138.0,056.5bcxu138.0056.5xueeey138.0056.5由此可得：，曲线如图：xueeey138.0056.5这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。作变换,ln,ln,lnacxvyu得线形函数。bvcu)0,1(ba)0,1(ba1.幂函数：baxy2.指数曲线：bxaey作变换,ln,lnacyu得线形函数。bxcu)0,(ba0)0,(ba03.倒指数曲线：xbaxy)0,(ba0)0,(ba0作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？思考交流4.对数曲线：xbayln0b0b作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？下表是一组实验数据：试分析与之间是否具有线性相关关系，若有，求与之间的回归方程。yyxx1动手做一做小结＊非线性回归方程：对某些特殊的非线性关系，可以通过变换，将非线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进行研究，最后再转换为非线性回归方程。＊常见非线性回归模型：1.幂函数：baxy2.指数曲线：bxaey3.倒指数曲线：xbaxy4.对数曲线：xbayln例1在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程．[错解]由已知条件制下表：序号xiyixiyix2iy2i10.251640.062525620.51260.2514431551254224445414161∑7.75362321.3125430x0.250.5124y1612521∴x＝1.55，y＝7.2.b＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2≈－3.53.a＝y－bx.所求的y与x之间的回归方程是y＝12.67－3.53x.本题的样本点恰好不是线性相关的．根据散点图可以发现y与x近似地呈反比例函数关系，即y＝kx的关系(如图)，令t＝1x，则y＝kt，即y与1x呈线性相关的关系．[正解]根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝kx，令t＝1x，则y＝kt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：序号tiyitiyit2iy2i141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.06251∑7.753694.2521.3125430∴t＝1.55，y＝7.2.b＝i＝15tiyi－5tyi＝15t2i－5t2≈4.1344.a＝y－bt≈0.8.∴y＝0.8＋4.134t.∴y与x的回归方程是y＝0.8＋4.134x.求回归方程，应注意首先对样本点是否线性相关进行检验，因为对于任何一组样本点，都可以根据最小二乘法求得一个线性回归方程，但这条线性回归方程是否较好地反映了样本点的分布呢，显然不一定，特别是对于不呈线性相关的回归模型．可以通过散点图或求相关系数r首先作出是否线性相关的检验，然后再选择恰当的回归模型进行模拟.1234bbbxx利用变量代换将下列函数模型化为线性函数模型：（）y=ax；（）y=ae；（）y=ae；（）y=a+交b流与探讨：lnx.自主交流：常见非线性回归方程的回归模型曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bv曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝aebxc＝lnau＝lnyu＝c＋bx自主交流：曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数c＝lnav＝1xu＝lnyu＝c＋bv自主交流：曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝a＋blnxv＝lnxu＝yu＝a＋bv自主交流：【解题流程】电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)【练习】t/s012345678910U/V100755540302015101055对U＝Aebt两边取对数得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：解：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由表中数据求得x＝5，y≈3.045，进而可以求得b≈－0.313，a＝y－bx＝4.61，所以y对x的线性回归方程为y＝4.61－0.313x.由y＝lnU，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x，因此电压U对时间t的回归方程为U＝e4.61·e－0.313x.(1)画出散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(2)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y＝a＋bx)．(3)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)．(4)得出结果后分析是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．建立回归模型的基本步骤：课时小结：课后反思：（1）本节课探讨可线性化的回归分析，重点是会将四种非线性回归模型经过变换转化为线性回归模型，进而进行回归分析；（2）由于学生对必修1中的函数模型有些遗忘，所以需要对常见函数模型进行复习回顾，可以将四种模型的图像画在黑板上，特别是将非线性回归模型转化为线性函数模型的方法与技巧需要作探讨交流，以加深学生的印象；（3）可线性化的回归分析在现实生活中有重要的实际意义，因此指导学生掌握可线性化的回归分析方法非常重要；（4）本节课以学生动手操作为主，教师引导即可，因为时间关系，未做练习。例2：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程温度x21232527293235产卵数y711212466115325解:1)作散点图;050100150200250300350202224262830323436温度产卵数从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。解:令则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画出x与z的散点图z=lnyx和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合z=ax+b+e2cx1用y=ce模型;1)x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.194.7455.784z01234567010203040z2)用y=c3x2+c4模型,令,则y=c3t+c4,列出变换后数据表并画出t与y的散点图2t=x散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。t44152962572984110241225y711212466115325y0501001502002503003500200400600800100012001400yˆˆ(1)0.272x-3.843(2)2y=e,y=0.367x-202.54ˆˆˆˆ(1)(1)0.272x-3.843iii(2)(2)2iiie=y-y=y-e,(i=1,2...7)e=y-y=y-0.367x+202.54,残差表编号1234567x21232527293235y711212466115325e(1)0.52-0.1671.76-9.1498.889-14.15332.928e(2)47.719.397-5.835-41.003-40.107-58.26877.965非线性回归方程二次回归方程残差公式