第一章-电极化张量的空间对称性

电极化张量的性质对极化率张量元素的影响电极化张量的性质对极化率张量元素的影响1.本征对易对称性：)()(),()()(),(1212)2(2121)2(ωωωωχωωωωχαβμβαβαμαβEEEE=即随着χ脚标的改变，E1和E2的先后次序也随着改变。这种改变将只是在数学形式上对χ矩阵及光场矩阵进行改变，而不能减少χ张量的个数(仍然是27个元)。其改变如下图：21ωωxyEE21ωωyxEE⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zzyzxzzyyyxyzxyxxxEEEEEEEEEEEEEEEEEEzzzzzyzzxzyzzyyzyxzxzzxyzxxyzzyzyyzxyyzyyyyyxyxzyxyyxxxzzxzyxzxxyzxyyxyxxxzxxyxxx12ωωxyEE12ωωyxEE⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zzzyzxyzyyyxxzxyxxEEEEEEEEEEEEEEEEEEzzzzyzzxzzzyzyyzxyzzxzyxzxxyzzyyzyxzyzyyyyyxyyzxyyxyxxxzzxyzxxzxzyxyyxxyxzxxyxxxx12ωω12ωω2.Kleiman近似下的对易：),(),(),(),(12)2(21)2(12)2(21)2(ωωχωωχωωχωωχμβαμβαμαβμαβ===此时可减少张量元个数（27—18）记为x1x2x3x4x5x6当外加辐射场的频率ω远离共振频率ωo时，即无色散时，电极化张量元与入射辐射场的频率无关：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zzzzyzzxzzzyzyyzxyzzxzyxzxxyzzyyzyxzyzyyyyyxyyzxyyxyxxxzzxyzxxzxzyxyyxxyxzxxyxxxx⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=2121212121212121216543216533216543210ωωωωωωωωωωωωωωωωωωχχχχχχχχχχχχχχχχχχεzzzyyzyyzxxzxyyxxxzzzzzzyyyyyyxxxxxxEEEEEEEEEEEEEEEEEEP此时极化强度P可表达为：18元6元3.全对称对易假设入射辐射场的频率ω1，ω2及由非线性效应产生的辐射场的频率ω3均远离共振频率ωo，则χ的三个脚标均可交换。即：......===βαμαμβμαβχχχ此时电极化张量由18Æ10个独立张量元45678910⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zzzzyzzxzzzyzyyzxyzzxzyxzxxyzzyyzyxzyzyyyyyxyyzxyyxyxxxzzxyzxxzxzyxyyxxyxzxxyxxxx结论：结论：1.本征对易对称性：不能减少张量个数，27元2.Kleiman近似下的对易：条件：入射场频率远离共振区结果：27元减少为18独立元3.全对称对易条件：入射、出射场频率均远离共振区结果：18元中只有10个独立元晶体空间对称性与非线性极化张量之间的对称性一.晶体的对称操作：1.旋转对称操作：晶格绕轴转2π/n后，能够得到与原来相同的图形2.镜面对称操作：晶格以某一平面为镜面得到与原来相同的图形3.中心对称操作：中心点为对称点4.旋转反演变换：晶体绕某一个轴旋转α角再作中心对称操作后得到复原的变换xyz（x,y,z）（-x,-y,z）1)旋转轴对称：晶格绕轴转2π/n后，能够得到与原来相同的图形。有1、2、3、4、6次转轴，如2z表示绕z轴转2π/2度。这种旋转也可用矩阵表示：1002010001z−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠例：例：有点(x,y,z)绕z轴做180度旋转，求所得点。⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛′′′zyxzyxzyx100010001解解：：xyz（x,y,z）（-x,-y,z）2)中心对称：1xyz1(x,y,z)(-x,-y,-z)矩阵表达为：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000100011图示如下：3)旋转反演轴：绕轴旋转后以该轴上某一点做中心反演xyz(x,y,z)(-y,x,z)(y,-x,-z)0104100001z⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠010100001xxyyyxzzz′⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟′=−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟′−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠如：表示绕z轴转2π/4弧度，再做中心对称。如图示：z4-4)镜面对称操作：m如即为以x-z平面为镜面做镜面对称。ymxyz(x,y,z)(x,-y,z)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100010001ym其矩阵表示为：二、晶体对称性对晶体宏观物理性质的影响1.诺伊曼原理：晶体的任何物理性质所具有的对称元素必须包括晶体所属点群的全部对称元素。即晶体物理性质的对称性必须高于或至少不低于晶体所属点群的对称性。说明：1）物理性质：指与晶体有关的一些可以测量的物理量之间的关系。2）物理性质具有某个对称元素：就是说代表这个物理性质的张量在这个对称元素表示的对称操作变换下，保持不变。诺伊曼原理的实施，实际上就是一个“去撇”操作。3）诺伊曼原理是一个假设原理，是从长期以来大量事实总结出来的，并且已经过大量的实验检验是正确的，但是如果一旦出现反例，就要进行重新修正。4）物理性质的对称性“必须包括”晶体对称性。2.诺伊曼原理的应用——对极化率张量独立分量数目的制约1）下标变换法（直接观察法）：2）解析法以KDP晶体为例：参考坐标系123oxxx经42m中的一个对称运算操作后，所得到的新坐标系为123oxxx′′′，各种操作的变换关系为：[]2:x112233,,;xxxxxx′′′==−=−[]2:y112233,,;xxxxxx′′′=−==−[]2:z112233,,;xxxxxx′′′=−=−=4:z+⎡⎤⎣⎦4:z−⎡⎤⎣⎦122133,,;xxxxxx′′′==−=−[]1:m122133,,;xxxxxx′′′===[]2:m122133,,;xxxxxx′′′=−=−=1x2x1x′2x′4z+⎡⎤⎣⎦1x′2x′4z−⎡⎤⎣⎦1x2x1m2m331221,,xxxxxx−=′=′′−=′因为我们所涉及的变换是一种简单类型的变换，在旋转后的坐标系中，某一特定点的每一个坐标等于参考坐标系中某个坐标的正值或负值。因而我们可以用一种规则来代替对称运算给出的实际变换。步骤如下：（1）确定在两个坐标系中脚标的变换关系；（2）确定变换符号，变换符号由各次变换符号的连乘确定。例如4z+⎡⎤⎣⎦变换，相应于脚标变换关系为12,21,33,→−→→−所以(2)(2)1131222312(;,)(1)(1)(1)(;,)σσχωωωχωωω−=−⋅−⋅−−(2)(2)1231221312(;,)(1)(1)(1)(;,)σσχωωωχωωω−=−⋅+⋅−−例1下面考察KDP晶体的对称性对张量元的限制。一阶极化率：[]2:x对应于脚标变换为11,22,33,→→−→−因此(12)(12),(13)(13)→−→−。因为是对称变换，所以在两个坐标系中的(1)(,)ωω−χ必须相同，于是必有(1)(1)1213(;)(;)0χωωχωω−=−=。研究与另外两个坐标轴yz、相联系的二次对称变换[][]22yz、可知，(1)(,)ωω−χ的所有非对角元都为零。镜像变换[]1m相对应的脚标变换为12,21,33→→→，于是有1122→（）（），这就穷尽了对（）1χ所有对称的限制。从而可知，KDP晶体的一阶极化率张量的形式为：000000xxxxzz⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦下面讨论KDP晶体的对称性对二阶极化率张量(2)12(;,)σωωω−χ的限制。由以上对称操作变换矩阵，可以进行如下演算：(2)zzzχ经4z+⎡⎤⎣⎦操作，有(2)3(2)(1)zzzzzzχχ=−0);();()1(22)1(11≠−=−ωωχωωχ(2)xxxχ经[]2y操作，有(2)3(2)(1)xxxxxxχχ=−与此类似，可以推得(2)12(;,)σωωω−χ中三个脚标都相同的张量元均为零，即有：(2)(2)(2)0xxxyyyzzzχχχ===(2)xxzχ经[]2x操作，有(2)(2)(1)xxzxxzχχ=−照此类推，(2)12(;,)σωωω−χ中两个脚标相同的张量元亦为零。(2)xyzχ进行4z+⎡⎤⎣⎦对称操作，有(2)(2)(1)(1)(1)xyzyxzχχ=−⋅+⋅−而进行[][][]222xyz、、操作，均可得到：(2)(2)xyzyxzχχ=与此类似，亦有关系式：(2)(2)(2)(2),xzyyzxzxyzyxχχχχ==42m根据以上演算的结果，可以知道，对于晶类的晶体，有27个张量元的二阶非线性极化率张量只剩下6个张量元不为零，且其中两两相等，即只有3个独立张量元。原来有27个张量元的三阶张量xxxxyyxzzxyzxzyxzxxxzxxyxyxyxxyyyyzzyyzyzyyzxyxzyxyyyxzxxzyyzzzzyzzzyzzxzxzzxyzyx⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦简化为只有3个独立张量元的三阶张量。000000000000000000000xyzxzyxzyxyzzxyzyx⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦采用约化下标：141436000000000000000χχχ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若进一步，满足Kleinman条件：141414000000000000000χχχ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例：例：具有中心对称或各向同性的介质无二阶非线性效应。证：证：(2)(2)0(2)(2)0(2)0(2)(2)(2)::()():00PEEPEEEEPPεχεχεχχ=′−=−−′==∴=∴=vvvvvvvvrv同理，该种晶体的偶次非线性效应均不存在，但奇次非线性效应仍存在。xyz(2)(2)χχ′=(2)Pv(2)(2)PP′=−vv习题：2m类晶体有一个4度旋转反演轴,三个二度转轴[2]X,[2]Y[2]Z,及二个对称面σ1,σ2,其中对称变换σ1后新老坐标之间关系为x’=y,y’=x,z=z’,对称变换σ2后有x’=-y,y’=-x,z’=z证明：XXX＝YYY＝0，XXZ＝YYZ＝0。41.2.2m类晶体有一个4度旋转反演轴,三个二度转轴[2]X,[2]Y[2]Z,及二个对称面σ1,σ2,证明：其二阶电极化率张量的具体形式为：40000000000000000000XYZXZYXZYXYZZXYZXY⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4z4z3.现有三个频率ω1ω2ω3，试写出考虑极化率的本征对易对称性的一维极化强度的完整表达式