浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版

1浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合𝐴={𝑥|𝑥＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若𝑧=3+𝑖1−2𝑖，则z的共轭复数𝑧等于（）A．1−7𝑖3B．1+7𝑖3C．1−7𝑖5D．1+7𝑖53．若双曲线𝑥2𝑚−𝑦2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．𝑦=±√33𝑥B．𝑦=±√3𝑥C．𝑦=±√55𝑥D．𝑦=±√5𝑥4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“𝑆2𝑛𝑆𝑛∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13abc其中a，b，c成等差数列，若𝐸(𝜉)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得𝑥𝑦𝑦−𝑥=15𝑥+4𝑦，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字2均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A．85B．95C．2040D．22809．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为1．M是底面△ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离h1，h2，h3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（）A．α＝βB．β＝γC．α＜βD．β＜γ10．已知|2𝑎→+𝑏→|=2，𝑎→⋅𝑏→∈[−4，0]，则|𝑎→|的取值范围是（）A．[0，1]B．[12，1]C．[1，2]D．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．若𝛼∈(0，𝜋2)，𝑠𝑖𝑛𝛼=√63，则cosα＝，tan2α＝．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是，剩余部分表面积是．13．若实数x，y满足{𝑥+𝑦−3≥02𝑥−𝑦+𝑚≤0𝑦≤4，若3x+y的最大值为7，则m＝．14．在二项式(√𝑥+1𝑎𝑥2)5(𝑎＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a的值是．15．设数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝6，an+1＝3Sn+2，n∈N*，则a2＝，S5＝．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知acosB＝bcosA，∠𝐴=𝜋6，边BC上的中线长为4．则c＝；𝐴𝐵→⋅𝐵𝐶→=．317．如图，过椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)+𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)+2𝑐𝑜𝑠2𝑥，𝑥∈𝑅．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−𝜋4，𝜋2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{an}（其中n∈N*），前n项和记为Sn，满足：𝑆3=716，log2an+1＝﹣1+log2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an•log2an}（n∈N*）的前n项和Tn．21．（15分）已知抛物线𝐶：𝑦=12𝑥2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△PAB面积的最小值．422．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，𝐴={𝑥|𝑥＜32}，B＝{y|y＞1}，∴𝐴∩𝐵=(1，32)，∴∁𝑈(𝐴∩𝐵)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵𝑧=3+𝑖1−2𝑖=(3+𝑖)(1+2𝑖)(1−2𝑖)(1+2𝑖)=15+75𝑖，∴𝑧=15−75𝑖．故选：C．3．【详解详析】双曲线𝑥2𝑚−𝑦2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；5在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．故选：B．5．【详解详析】等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，“d＝0”⇒“𝑆2𝑛𝑆𝑛∈Z”，当𝑆2𝑛𝑆𝑛∈Z时，d不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，𝑆6𝑆3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d＝2，故d＝0”是“𝑆2𝑛𝑆𝑛∈Z”的充分不必要条件．故选：A．6．【详解详析】∵a，b，c成等差数列，E（ξ）=19，∴由变量ξ的分布列，知：{𝑎+𝑏+𝑐=232𝑏=𝑎+𝑐(−1)×13+𝑏+2𝑐=19，解得a=13，b=29，c=19，∴D（ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D．7．【详解详析】∵𝑥𝑦𝑦−𝑥=15𝑥+4𝑦，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，∴y1•y2=14＞0，∴y1+y2=−5𝑥2−14𝑥≥0，∴{5𝑥2−1≥0𝑥＜0，或{5𝑥2−1≤0𝑥＞0，∴0＜x≤√55或x≤−√55①，△＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得：﹣1≤x≤15②，综上x的取值范围是：0＜x≤15；6x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1𝜃，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．710．【详解详析】选择合适的基底．设𝑚→=2𝑎→+𝑏→，则|𝑚→|=2，𝑏→=𝑚→−2𝑎→，𝑎→⋅𝑏→=𝑎→⋅𝑚→−2𝑎→2∈[−4，0]，∴（𝑎→−14𝑚→）2=𝑎→2−12𝑎→•𝑚→+116𝑚→2≤8+116𝑚→2|𝑚→|2=𝑚→2＝4，所以可得：𝑚→28=12，配方可得12=18𝑚→2≤2(𝑎→−14𝑚→)2≤4+18𝑚→2=92，所以|𝑎→−14𝑚→|∈[12，32]，则|𝑎→|∈[0，2]．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．【详解详析】∵𝛼∈(0，𝜋2)，𝑠𝑖𝑛𝛼=√63，∴cosα=√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=√33，tanα=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=√2，∴tan2α=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛2𝛼=2×√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为长方体切去一个角．8故：V=2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：𝑉1𝑉=532=56．S＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×3√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{𝑥+𝑦−3≥02𝑥−𝑦+𝑚≤0𝑦≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当3x+y＝7．由{3𝑥+𝑦=7𝑦=4，解得{𝑥=1𝑦=4，即B（1，4），同时A也在2x﹣y+m＝0上，解得m＝﹣2x+y＝﹣2×1+4＝2．故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√𝑥+1𝑎𝑥2)5(𝑎＞0)的展开式的通项公式为Tr+1=𝐶5𝑟•(1𝑎)𝑟•𝑥5−5𝑟2，令5−5𝑟2=−5，求得r＝3，故展开式中x﹣5的系数为𝐶53•(1𝑎)3；令5−5𝑟2=0，求得r＝1，故展开式中的常数项为𝐶51•1𝑎=5𝑎，由为𝐶53•(1𝑎)3=5•1𝑎，可得a=√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{an}的前n项和为Sn．S2＝6，an+1＝3Sn+2，n∈N*，∴a2＝3a1+2，且a1+a2＝6，9解得a1＝1，a2＝5，a3＝3S2+2＝3（1+5）+2＝20，a4＝3S3+2＝3（1+5+20）+2＝80，a5＝3（1+5+20+80）+2＝320，∴S5＝1+5+20+80+320＝426．故答案为：5，426．16．【详解详析】由acosB＝bcosA，及正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，所以sin（A﹣B）＝0，故B＝A=𝜋6，所以由正弦定理可得c=√3a，由余弦定理得16＝c2+（𝑎2）2﹣2c•𝑎2•cos𝜋6，解得c=8√217；可得a=8√77，可得𝐴𝐵→⋅𝐵𝐶→=−accosB=−8√77×8√217