1.3.2函数的极值与导数

aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf复习回顾：一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.函数f(x)在区间(a,b)内：f(x)在(a,b)内单调递减f(x)在(a,b)内单调递增0)(xf0)(xf例：已知函数f(x)=2x3-6x2+7，求f(x)的单调区间,并画出其图象;探究：解：xxxf126)(2令，解得或，2x01262xx0x当时，是增函数；)0,(x)(xf因此，当时，是增函数；),2(x)(xf再令，解得，20x01262xx当时，是减函数；)2,0(x)(xf因此，探究：观察图象，回答下面问题：问题1：在点x=0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x=0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x=0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x=0处的导数是多少？x=0x0x0单调递增f’(x)0单调递减f’(x)0f’(0)＝0xf’(x)+0-f(x)极大值点f(0)极大值单调递增单调递减分析讨论：函数在x=0附近的变化规律你能尝试给出极大值的定义吗？【函数极大值的定义】设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义若x0满足1.f/(xo)=0；2.在x0的两侧的导数异号,满足“左正右负”。oax0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？x2x2x=2x2x2x=2f’(x)+0-f(x)单调递增f(2)单调递减极小值点极小值你能尝试给出极小值的定义吗？【函数极小值的定义】设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义若x0满足1.f/(xo)=0.2.在x0的两侧的导数异号,满足“左负右正”,oaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0极大值f(x)0f(x)=0极小值f(x)0左正右负为极大左负右正为极小极大值与极小值的概念：思考：观察图1.3.10，回答以下问题：问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。例1.（1）下图是函数f(x)的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是极大值点,哪些是极小值点?51,xx极大值点63,xx极小值点2x极大值点4x极小值点y=f’（x）例题讲解例2、求函数的极值．4431)(3xxxf例题讲解解：)2)(2(42xxxy当x变化时，的变化情况如下表：yy,+0—0+极大值y2(-2,2)-2xy)2,(),2(32834极小值令，解得2,221xx0y当时，y有极大值，并且2x328极大值y当时，y有极小值，并且2x34极小值y由表格写出函数的单调区间函数图像-2oxy2+--+f(x)=x3-4x+43134328求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值+-x0-+x0求导—求极点—列表—求极值练习求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.xyOf(x)=3x2虽然f(0)=0，但x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件思考：导数为0的点一定是极值点吗？3)(xxf例如例3、求函数的极值．1)1()(32xxf解：22)1(6xxy令，解得1,0,1321xxx0y当x变化时，的变化情况如下表：yy,无极值极小值0无极值y+0+0—0—1(0,1)0(-1,0)-1xy)1,(),1(当时，y有极小值，并且0x0极小值y导函数的正负是交替出现的吗？不是例题讲解函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff0231012baaba解之得11433baba或通过验证，都合要求，故应选择A。注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验1.练一练：32()fxaxbxcx2.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1）的值；（2）a,b,c的值；0x'()yfx0x2,9,12abc.10x)0(23(2/acbxaxxf　　）＝或－23332acab5)1(cbaf0412)2(023)1(//＝cbafcbaf略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用3.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.21aa或oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0极大值f(x)0f(x)=0极小值f(x)0左正右负为极大，左负右正为极小（1）极大值极小值的概念（2）如何求函数的极值求导—求极点—列表—求极值