专题1.3+解密函数零点相关问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品

一．方法综述新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分.根据函数零点的定义：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点的横坐标函数)(xfy有零点。围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题.二．解题策略类型一：函数零点的分布问题例1、(2014·北京高考)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)【答案】C【举一反三】函数f(x)＝lnx＋x－12，则函数的零点所在区间是()A.)21,41(B.13(,)24C.3(,1)4D．(1，2)【答案】C【解析】函数f(x)＝lnx＋x－12的图象在(0，＋∞)上连续，且3()4f＝ln34＋34－12＝ln34＋14＜0，f(1)＝ln1＋1－12＝12＞0，故f(x)的零点所在区间为3(,1)4.类型二函数零点的个数问题【例2】【2017课标3】已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则a（）A．12B．13C．12D．1【答案】C【举一反三】已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x＋12.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【答案】102a【解析】函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3,4]与y＝a的图象有10个不同交点．作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0a12.类型三函数零点与简易逻辑交汇问题例3.【2018广东省化州市模拟】已知函数2,1,1xaxfxxax，则“函数fx有两个零点”成立的充分不必要条件是a（）A.1,2B.1,2C.1,2D.0,1【答案】C【举一反三】已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(q)为真命题，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，2]C．(1，2]D．(－∞，1]【答案】C【解析】由题意可得，对命题p，令f(0)f(1)0，即－1·(2a－2)0，得a1；对命题q，令2－a0，即a2，则q对应的a的取值范围是a≤2.∵p∧(q)为真命题，∴实数a的取值范围是(1，2]．三．强化训练1．设定义域为(0，＋∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－log2x]＝3，若x0是方程f(x)－f′(x)＝2的一个解，则x0存在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】C2.【2017湖北省荆州市质检】已知函数2ln1,23fxxgxxx，用min,mn表示,mn中最小值，设min,hxfxgx，则函数hx的零点个数为()A．1B．2C.3D．4【答案】C【解析】作出函数fx和gx的图象如图，两个图象的下面部分图象，由2230gxxx，得1x，或3x，由ln10fxx，得xe或1xe，∵0ge，∴当0x时，函数hx的零点个数为3个，故选：C．3.【2018广西壮族自治区贺州市桂梧高中联考】已知x表示不大于x的最大整数，若函数220fxaxxxa在0,2上仅有一个零点，则a的取值范围为（）A.0,2B.0,12,C.1,2D.0,12,【答案】D4.【2018四川省广元市统考】函数,01()1,0xaxfxxe，若关于x的方程222330fxafxa有五个不同的零点，则a的取值范围（）A.（1，2）B.3,22C.31,2D.331,,222【答案】D5.【2018广西贺州桂梧联考】已知x表示不大于x的最大整数，若函数210fxaxxxa在0,2上仅有一个零点，则a的取值范围为（）A.1,00,14B.11,1,4C.11,0,14D.1,01,4【答案】D【解析】若0a，当01x，0x，21fxax.01f，∴当10a，即1a时，fx在0,1上有一个零点.当12x，1x，21fxaxx，10fa，410a，故fx在1,2上无零点.若0a，当01x，fx在0,1上无零点.当12x，21fxaxx，10fa.∴当410a，即104a（此时对称轴122xa）时，fx在1,2上有一个零点.故当1,01,4a时，fx在0,2上仅有一个零点.选D6.【2018内蒙古呼和浩特市研】已知函数3232fxxxmxm，若存在唯一的正整数0x，使得00fx，则m的取值范围是（）A.0,1B.1,13C.2,13D.2,3【答案】C所以m的取值范围是2,13故选C7.已知函数2()lnxfxxeta，若对任意的[1,]te，()fx在区间[1,1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1,]eB．1(1,]eeC．(1,]eD．1[1,]ee【答案】D8.【2018四川省绵阳市一诊】已知1x是函数()1ln(2)fxxx的零点，2x是函数2()244gxxaxa的零点，且满足12||1xx，则实数a的最小值是（）A.222B.122C.2D.1【答案】D【解析】因为111022xfxxx，所以当21x时，0,fxfx单调递减，当1x时，0,fxfx单调递增，10f，即函数fx存在唯一零点，即11x，因为211x，所以220x，即gx在2,0有零点，（1）若244440aa，即222a，此时gx的零点为a，显然22a符合题意；（2）若244440aa，即22a或22a，若gx在[﹣2，0]上只有一个零点，则200gg，1a，②若gx在[﹣2，0]上有两个零点，则20020223222ggxaaa或，解得1222a，即a的最小值为1；故选D.9.【2018山东省德州市预测】已知f（x）=ax2+（b-a）x+c-b（其中a＞b＞c），若a+b+c=0，x1、x2为f（x）的两个零点，则|x1-x2|的取值范围为.【答案】3(,23)210.【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】已知函数1exfxx的零点为α,πcosπgxxxa的零点为β,若13αβ,则实数a的取值范围是.【答案】11π7π,66【解析】由1exfxx可得1e1xfx,令0fx,得1x.当1x时0fx,fx单调递增;当1x时0fx,fx单调递减,故10fxf,故1α.由13αβ可得2433β,由πcosπgxxxa,得ππsinπ0gxx,所以gx是增函数,则22π2ππcos033344π4ππcos0333gaga,解得11π7π66a.11.【2017山东潍坊联考】设函数11log111axfxxx，，，若函数2gxfxbfxc有三个零点1x，2x，3x，则122313xxxxxx等于.【答案】212.已知函数2hxxaxb在0,1上有两个不同的零点，记min,mmnmnnmn，则min0,1hh的取值范围为______．【答案】10,4【解析】由题意，得2(0)0(1)1001240hbhabaab，即20102040babaab．设min0,1zhh，当10a时，zb，此时如图所示的平面区域的阴影部分，易知104b．