9-2(2)利用极坐标计算二重积分

第二节二重积分的计算法（2）三、小结思考题二、利用极坐标计算二重积分一、问题的提出一、问题的提出21D0yxD1D2D3D4为什么引用极坐标计算二重积分DyxyxfId)d,(D:之间的环域和412222yxyx怎么计算？必须把D分块4321DDDDI需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦有时甚至出现用直角坐标不能解决的问题二、利用极坐标系计算二重积分Ddyxf),(Ddxdyyxf),(dxdyd在极坐标系下如何呢？sincosryrx，drdd问：在直角坐标系下？rθP(r,)oxP(x,y)xyy所以有)sin,cos(),(rrfyxfDAorrr221rrrdrdrdDdyxf),(极坐标系下的二重积分怎样计算极坐标系下的二重积分？.)sin,cos(Drdrdrrf首先用一族坐标原点为起点的射线，和一族坐标原点为圆心的同心圆分割积分域。2)(21rr221r后积先定限，限内画直线，（由极点出发在限内画一射线）先交为下限，后交为上限方法：二重积分化为二次积分Ddyxf),(Drrf)sin,cos(一代：二换：)sin,cos(),(rrfyxf三定限：drdrdrdrd积分积分后对先对rdDrdrdrrf)sin,cos(区域特征如图,).()(21rrr1°极点在区域外r1()r2()o)}()(,|),{(21rrrrD)()(21rrrdrrrf)sin,cos(dDrdrdrrf)sin,cos(区域特征如图,).(0rr2°极点在区域边界上r()o)}(0,|),{(rrrD)(0rrdrrrf)sin,cos(20dDrdrdrrf)sin,cos(区域特征如图,20).(0rr3°极点在区域内部)}(0,20|),{(rrrDDoA说明：当积分域是圆或圆的一部分，或者区域D的边界方程用极坐标表示比较简单，或者被积函数为)(22yxf，)(yxf，)(xyf时，用极坐标计算较为简便rdrrrf)sin,cos()(0r)(rr注：具体作法2°一代、二换将直角坐标系下的二重积分Ddxdyyxf),(转换成极坐标系下的二重积分Drdrdrrf)sin,cos(1°将sin,cosryrx代入到区域D的边界方程中，把D的边界表示成)(rr.Ddyxf),(在极坐标系下计算3°三定限将极坐标系下二重积分Drdrdrrf)sin,cos(化成累次积分．例1计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下dxdyeDyx2220d).1(2ae222ayxarrdrdeDr2222)sin()cos(arr2222)sin(cosar22ararrdrer2a0例2写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下Ddxdyyxf),(20d1rsincos1rdrdrrrfD)sin,cos(1yx1sincosrr1sincosrsincos1rrdrrrf)sin,cos(1sincos1xyo例3计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解在极坐标系下32sin4rsin2ryyx422yyx22203xy6103yx0sin3cosrr33tansin22rr6132sin2rsin4rdxdyyxD)(2236d).834(15rdrdrD236sin4sin2441dr364sin60d61xyo32sin4rsin2rrdrr2sin4sin2计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.请你动手做解Ddxdyyxyx2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx210sin42rdrrrd.41D例4：求球体22224azyx被圆柱面)0(222aaxyx，所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。例4：求球体22224azyx被圆柱面)0(222aaxyx，所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。例4：求球体22224azyx被圆柱面)0(222aaxyx，所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。例4：求球体22224azyx被圆柱面)0(222aaxyx，所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。由对称性知14VV，解2224yxazcos2ar122244DdxdyyxaV}cos20,20),{(1arrD12244DdrdrraVaxyx222cos20222044adrrrad20cos202322432)21(4draa2033)sin1(332da202203sin)cos1(332dda20333coscos2332a3223323a)322(3323a2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数21nnInnI20I11I例5求广义积分02dxex.解}0,0,|),{(2221yxRyxyxD}0,0,2|),{(2222yxRyxyxD}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2RxRdxe02lim又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRrrdred0022);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re当R时,,41I,42I故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee二、小结在计算二重积分时1、画出积分区域2、考虑是否可以将积分区域的对称性与被积函数的奇偶性正确配合，简化计算若积分区域关于x（y）轴对称，被积函数为y（x）的奇函数，则积分值为零。被积函数为y（x）的偶函数积分值为x轴上方（y轴右方）积分值的两倍。3、选系当积分域是圆或圆的一部分，或者区域D的边界方程用极坐标表示比较简单，或者被积函数为)(22yxf，)(yxf，)(xyf时，用极坐标计算较为简便4、选序即要考虑积分区域（一般分块越少越好）又要考虑被积函数（一般先积分的容易求，并为后积分的作准备）5、定限计算积分注：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时，一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。请你动手做将xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积分为_______________,其值为_______________..xxrdrrddyyxdx240sectan01212210)(40sectand40sec12,cos022:arDoxy思考题解答cosarDaararccosararccos.),(arccosarccos0araradrfdrI交换积分次序:).0(),(cos022adrrfdIa思考题