“代数式”的前世今生

龙源期刊网“代数式”的前世今生作者：陈晓靓来源：《初中生世界·七年级》2017年第10期如果说人类是生物进化的产物，那么代数式就是数学进化的一个重要组成部分.用字母表示数是数学发展过程中一次质的飞跃，是人类一项创造性的成就，是认识和思维上的巨大提升.德国数学家莱布尼兹说过：“符号的巧妙和利用符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它以惊人的形式节省了思维.”俄国数学家罗巴切夫斯基也说过：“利用了符号，数学上的每一个论断，它所要描述的东西可以更快地被别人所了解.”既然用字母表示数如此重要，那么我们有必要来了解一下代数式的进化史.其发展历史大致可以分为三个时期.一、代数式的萌芽期人类最初完全没有数量的概念，但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步.这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念.比如“结绳记事”是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事.我国古书《易经》中也有“结绳而治”的记载.传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数.用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法.这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号.随着不同先进文明的不断崛起，人们记录数字的方法也得到了很大程度的发展.其中最具有代表性的就是罗马数字和阿拉伯数字.实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）.这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的.它们按照一定规律组合起来，就能表示任何数.而阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0起源于古印度，是国际上通用的十进制数码，也是同学们最为熟悉的数字.可是不管是古罗马人还是古印度人，没有一个数学家意识到可以用一个字母来代表一类数，直到一个伟大数学家的出现.二、代数式的发展期公元3世纪，被誉为古希腊代数学鼻祖的丢番图在其著作《算术》中首次用字母“ζ”来表示未知数.丢番图是最早在数学中运用一套符号的人，这使得代数式的思维和数学更加紧凑.在其之前，人们在表示自然数、奇数、偶数等一些特殊数时，只能用冗长的文字语言或者解释来表示这些数.丢番图创造性地用词头的字母作为缩写符号来简化代数式.例如，他用希腊文“幂”的头两个字母表示未知数的平方，用希腊文“立方”的头两个字母表示未知数的立方等.这里，我们把丢番图的“ζ”改成x，一起来看看丢番图著作《算术》中的一个经典题目.“已知两数的和与差求这两个数.”丢番图的解法是：“假设两数和为100，差为40，较小数为x，则较大数为40+x，则2x+40=100，故得x=30，而较大数为70.”很明显，丢番图当时已经运用字母解决了一个一元一次方程的问题.由此可见，丢番图让代数学前进了一大步.但是由于种种原因，丢番图不知道可以用字母来表示任意一个数.可见，代数式的进化历史并非如我们想象得那么一帆龙源期刊网风顺，呈直线式发展.在古代，由于信息渠道的闭塞，数学思想的传播是极受限制的.无论如何，在用字母表示数这件事上，丢番图之后一千多年间，人们没有任何进步，直到另一个伟大数学家的出现.三、代数式的成熟期“独上高楼，望尽天涯路.”16世纪法国伟大的数学家，代数式真正的创造人韦达终于实现了历史性的突破，他在《分析引论》中使用字母来表示未知数以及已知数.韦达在书中写道：“本书将辅以某种技巧，通过符号来区分未知量和已知量.”韦达将这种新的代数称为“类的算术”，以区别于旧的“数的算术”.一旦用字母来表示任何数，在韦达的笔下便出现了我们所熟悉的代数恒等式：完全平方公式与平方差公式，那就是A2±2AB+B2=（A±B）2，（A+B）（A-B）=A2-B2.在用字母表示数后，代数学告别了旧时代，插上了新翅膀，在人类文明的天空自由地飞翔起来.韦达之后另一个伟大的法国数学家笛卡尔改用拉丁字母表中最后的几个字母x、y、z等表示未知数，用前面的字母a、b、c等表示已知数，还将一个数x的立方、平方写成x3、x2，這些符号一直沿用到今天.1693年，英国数学家沃利斯正式在代数中使用这些符号，就实现了代数式的完全符号化.另外，这里提到的笛卡尔正是站在韦达这位巨人的肩膀上，后来成为了著名的平面直角坐标系的创立者.“用字母表示数”，这在今天学过代数的同学们看来乃是一件稀松平常的事情.当年，中国第一部符号代数教材《代数术》的翻译者李善兰和伟烈亚力所创“代数”一词，正是“用字母表示数”之义.但是我们追溯代数式的历史，竟是如此的漫长，不得不让我们感受到数学的博大精深.正是那些伟大的数学家点亮了人类文明的光烛，使得我们学习和使用代数式是如此的简单和方便，我们应该感激并幸福着.（作者单位：江苏省无锡市梅里中学）