竖直上抛和竖直下抛运动1讲解

1.概念：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动.2.自由落体运动的规律(1)一般规律：速度公式vt=gt位移公式h=gt2/2vt2=2gh(2)特殊规律：初速度为0的匀加速运动所有特殊规律对自由落体运动均适用.复习：自由落体运动竖直上抛运动——匀减速直线运动．规律：遵守匀变速直线运动的规律．gtvvt02021gttvsghvvt2202由上述公式可知：1）最高点的瞬时速度υt=0，加速度仍为g，从抛出到最大高度的时间和上升高度为t=υ0/ghm=υ02/2g2)从抛出点到落回抛出点的时间和落回抛出点的瞬时速度为t′=2υ0/gυt=-υ0图像法例题1．将物体竖直向上抛出后，能正确表示其速率υ随时间t变化关系的图线是如图2中所示的A、B、C、D中的哪种？思维基础：“竖直上抛运动”是一种匀减速直线运动，在上升过程中速率υ逐渐减小，当减到υ=0时，物体也就达到了最大高度．接下来，物体就开始作自由落体运动，速率υ逐渐增大．（注：物体上升时，速度的方向是向上的；物体下落时，速度是向下的．但是本题写明是“速率”υ，所以看图线时，只需看υ大小的变化，而不必考虑方向的变化．）解题思路：根据前面的分析，物体先上升后下落，速率的变化应是υ0→υ→υ0，只有图线（D）反映出了这种现象，而其它三种图线都是不对的．（注：在图线D中，图线与纵轴υ的交点，就表示物体上抛的初速度υ0的大小．）①分段法：把竖直上抛运动分为匀减速上升运动和自由落体运动两个过程研究②整体法：从整个过程看，利用匀减速运动规律来处理.③对称法：在竖直上抛运动中，速度、时间都具有对称性，分析问题时，请注意利用对称性.如上升、下落经过同一位置时的速度大小相等、方向相反.从该位置到最高点的上升时间与从最高点落回的时间相等.竖直上抛运动的处理方法例题2．以υ0=20m/s的初速度从地面竖直向上抛出一个实心小铁球，问：经过3秒钟小铁球距地面的高度是多少米？（g取10m/s2，可以忽略空气阻力和浮力的影响．）启发性问题：1．题目中说“实心小铁球”的目的是什么？2．你能说出这个小铁球在3秒钟的运动状态吗？3．你会用几种方法解答这个问题？4．竖直上抛运动的位移和路程的数值是否永远相等？分析与说明：1．我们先运用前面导出的“上升时间”公式t=（υt-υ0)/g，算出小铁球经2秒钟已达到最大高度，随后就以自由落体的状态下落了．所以在3秒钟内，小铁球的运动状态是──前2秒作竖直上抛运动，第3秒作自由落体运动．2．本题可以用“分段法”和“位移法”两种方法求解，具体的解法详见后面解题过程中的“解法一”和“解法二”．解题过程：解法一──“分段法”设：小铁球上升时间为t上，自由落下的时间为t下；上升的最大高度为h上，自由下落的距离为S下；经3秒钟小铁球距地面的高度为h．则：据前面导出的各“竖直上抛运动”的公式可以写出以下关系式t上===2（s）h上===20(m)t下=3s－2s=1sS下=gt下2=×10×12=5(m)∴h=h上－S下=20m－5m=15m上t解法二──“位移法”将υ0、t、g的值直接代入“竖直上抛运动”的位移矢量式中可以解出：S=υ0t－gt2=20×3－×10×32=60－45=15（m）解后思考：在3秒钟内小铁球通过的路程是多少？（提示：25米）应用时，不论质点处于上升阶段还是处于下落阶段，运动学的公式都适用，只需注意各物理量符号（意义）即可．例如，物体从某一高度开始竖直上抛，取竖直向上为正，则初速度为正值，而加速度g则应取负值．当物体在抛出点以上时，位移为正值；当物体在抛出点以下时，位移则为负值．应用上述公式处理竖直上抛运动较分步计算（上升阶段按匀减速直线运动计算；下降阶段按自由落体运动计算）简单．例题3：气球下挂一重物，以v0=10m／s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，取g=10m／s2．分析这里的研究对象是重物，原来它随气球以速度v0匀速上升．绳子突然断裂后，重物不会立即下降，将保持原来的速度做竖直上抛运动，直至最高点后再自由下落．解方法1分成上升阶段和下落阶段两过程考虑．绳子断裂后重物可继续上升的时间和上升的高度分别为故重物离地面的最大高度为H=h+h1=175m+5m=180m．重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间t=t1+t2=1s+6s=7s知识点应用方法2：从统一的匀减速运动考虑．从绳子断裂开始计时，经时间t最后物体落至抛出点下方，规定初速方向为正方向，则物体在时间t内的位移h=-175m．由位移公式合理解，得t=7s．所以重物的落地速度为vt=v0-gt=10m／s-10×7m／s=-60m／s．其负号表示方向向下，与初速方向相反．说明从统一的匀减速运动考虑，比分段计算方便得多，只是在应用时，需注意位移、速度等物理量的方向．这个物体从绳子断裂到落地过程中的v-t图如图所示．例题6、（1999年高考题）一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是______s．（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点．g取10m/s2，结果保留二位数字．）分析：首先，要将跳水这一实际问题转化为理想化的物理模型，将运动员看成一个质点，则运动员的跳水过程就抽象为质点的竖直上抛运动．（t1+t2=0.3+1.45=1.75s）竖直下抛运动——可以把它看成是一种初速不为零的匀加速直线运动。特点：v=vo+gtS=vot+1/2gt2相遇问题例4：球A从高H处自由下落，与此同时，在球A下方的地面上，B球以初速度v0竖直上抛，不计阻力，设v0=40m/s，g=10m/s2．试问：（1）若要在B球上升时两球相遇，或要在B球下落时两球相遇，则H的取值范围各是多少？（2）若要两球在空中相遇，则H的取值范围又是多少？解答：（1）算出B球上升到最高点的时间t1=v0/g=40/10=4（s）则B球在最高点处两球相遇B球在落地前瞬间两球相遇时：所以：要在B球上升时两球相遇，则0＜H＜160m要在B球下落时两球相遇，则160m＜H＜320m．（2）由上可知，若要两球在空中相遇，则0＜H＜320m．题目变形：若H是定值，而v0不确定，试问：（1）若要在B球上升时两球相遇，或要在B球下落时两球相遇，v0应满足什么条件？（2）若要两球在空中相遇，v0应满足什么条件？例题5．在同一地点以相同的初速度υ0=49m/s先后竖直向上抛出两个石子，第二个石子比第一个石子晚抛出2秒，问：第一个石子抛出后，经几秒钟两个石子在空中相遇？（石子所受的空气阻力和空气浮力可忽略不计）“准备活动”（解题所需的知识与技能）这是一个二体对遇问题，首先需要分析两个石子的运动状态，然后再找出两个石子间的相互联系，才能顺利求解．第一个石子竖直减速向上运动到最大高度，然后以自由落体状态下落；第二个石子尚未达到最大高度，在上升过程中就与返回的第一个石子相遇了．解：设第一个石子运动的时间为t，则第二个石子运动的时间为(t－2)；两个石子在空中相遇时的高度为h．根据匀速直线运动的位移公式可写出下列二式：h=υ0t－1/2gt2①h=υ0(t－2)－1/2g(t－2)2②两个石子在空间相遇时距地面的高度h是相等的；它们运动的时间也是有关系的，如果设第一个石子运动的时间为t，则第二个石子运动的时间就应是（t－2）了．通过h和t就可把两个石子的关系式结合成联立方程，也就可以解出答案了．①、②两式的右端相等．υ0t－1/2gt2=υ0(t－2)－1/2g(t－2)2υ0t－1/2gt2=υ0t－2υ0－gt2+2gt－2g化简整理后可得：t==6(s)答：经6秒钟两石子在空中相遇问题：对于不可忽略空气阻力和空气浮力的“竖直上抛”运动的问题应如何处理？总的来说，不能直接套用“竖直上抛”的运动公式．应当根据牛顿第二定律F=ma先求出a，再代入一般的匀变速直线运动公式求解．处理“竖直上抛”问题时应当注意，空气阻力向下与重力同向、空气浮力向上与重力反向．例题7、在一架电梯内，用绳子将一只小球悬挂在顶板上，小球离底板高为h=2.5m，使电梯从静止开始，以加速度a=10m/s2竖直向上运动，在电梯运动过程中，悬挂小球的绳突然断掉．求（g=10m/s2）1）小球落到底板所需要的时间是多少？2）若是在电梯运动1s后断开的，那么在小球落向底板的时间内，从地面上的人看来，小球是怎样运动的？位移是多少？能力·思维·方法【例8】在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物体冲出井口再落到井口时被人接住，在被人接住前1s内物体的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10m/s2，求：(1)物体从抛出到被人接住所经历的时间；(2)竖直井的深度.能力·思维·方法【解析】(1)设人接住物块前1s时刻速度为v，则有h′=vt′-(1/2)gt′2即4=v×1-(1/2)×10×12解得v=9m/s则物块从抛出到接住所用总时间为t=（v-v0）/（-g）+t′=（9-11）/（-10）+1=1.2s(2)竖直井的深度即抛出到接住物块的位移.h=v0t-(1/2)gt2=11×1.2-1/2×10×1.22=6m练习:1在离地面30米高处,将一小球竖直上抛,当它达到最大高度的3/4时速度是10米/秒,则小球抛出后5秒末的速度大小为多少?在前5秒内的饿位移大小是多少?2一火箭从地面竖直向上发射,加速度为8米/秒2,10秒末从火箭上掉下一物体,求:1)物体着地时的速度为多少?2)假设火箭掉下物体后加速度不变,则物体着地时火箭上升多少?4.从12m高的平台边缘有一小球A自由落下，此时恰有一小球B在A球正下方从地面上以20m/s的初速度竖直上抛，求：(1)经过多长时间两球在空中相遇；(2)相遇时两球的速度vA、vB；(3)若要使两球能在空中相遇，B球上抛的初速度v′OB最小必须为多少?(取g=10m/s2)延伸·拓展【解析】A、B相遇可能有两个时刻，即B球在上升过程中与A相遇，或B上升到最高点后在下落过程中A从后面追上B而相遇.若要使A、B两球能在空中相遇，则B球在空中飞行的时间至少应比A球下落12m的时间长.(1)B球上升到最高点的高度为H=v2OB/2g=202/（2×10）m=20m，此高度大于平台的高度hA=12m，故A、B两球一定是在B球上升的过程中相遇，相遇时vOBt1-1/2gt12=hA-1/2gt2t1=hA/vOB=12/20s=0.6s(2)相遇时vA=gt1=10×0.6m/s=6m/svB=vOB-gt1=(20-10×0.6)m/s=14m/s∵hA=1/2gt2A∴tA==±1.55s故tA=1.55st′A=-1.55s(舍去)(3)若B球以v′OB上抛，它在空中飞行的时间为tB=2v′OB/g要使A、B球相遇，必须有tB＞tA，即2v′OB/g＞1.55s∴v′OB＞7.75m/s101222ghA1.概念：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动.2.自由落体运动的规律(1)一般规律：速度公式vt=gt位移公式h=gt2/2vt2=2gh(2)特殊规律：初速度为0的匀加速运动所有特殊规律对自由落体运动均适用.自由落体运动能力·思维·方法【例1】一矿井深为125m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球刚好到达井底，则相邻小球开始下落的时间间隔为，这时第3个小球和第5个小球相距.(g取10m/s2)能力·思维·方法【解析】每个小球自由下落的总时间为t=5s，相邻小球开始下落的时间间隔为△t=t/10=0.5s，第3个小球和第5个小球相距△h=(1/2)g(8△t)2-(1/2)g(6△t)2=35m.本题解题时，如能