全国自考高等数学(一)复习资料-真题答案

工商企业管理（专科）高等数学（一）内部资料目录第一章函数.............................................................................................................................................................................................................3第二章极限与连续................................................................................................................................................................................................6第三章导数与微分................................................................................................................................................................................................7第四章微分中值定理和导数的应用...................................................................................................................................................................8第五章一元函数积分学.....................................................................................................................................................................................11第六章多元函数微积分.....................................................................................................................................................................................15第一章函数1.一元二次方程未知量x满足的形如的方程为一元二次方程，称为此方程的判别式。由可知：当Δ0时，方程有两个不同的实根；当Δ=0时，方程有一个二重实根；当Δ0时，方程有一对共轭虚根根与系数之间的关系（韦达定理）：若记一元二次方程的两个根分别为，则有。一元二次函数的图形——xOy平面上的一条抛物线——依据，当a0时，抛物线的开口朝上；当a0时，抛物线的开口朝下；抛物线的对称轴为垂直于x轴的直线，顶点坐标为。2.数列（1）等差数列设是一个数列，若对所有的n都成立，则称为等差数列，d称为公差。根据等差数列的定义，等差数列的通项为，前n项和为，且其通项满足。最后一个式子说明：在等差数列中，任何一项都是其前后“对称”位置上的两项的算术平均值，这时又称为的等差中项。（2）等比数列设是一个数列，且，若对所有的n都成立，则称是等比数列，q称为公比。根据等比数列的定义，等比数列的通项为，前n项和为，且其通项满足。最后一个式子说明：在等比数列中，任何一项的绝对值都是其前后“对称”位置的两项的几何平均值，这时。3.函数的定义4.（1）（2）函数的性质5.周期函数设函数f(x)的定义域为R，若存在正数T0，是的对任意的都有，则称f(x)是一个周期函数，T称为函数f(x)的周期。一般说的周期指的是最小正周期。6.指数函数函数称为以a为底的指数函数，常用的以无理数e为底的指数函数。指数函数的基本运算规则：。7.反函数的概念8.对数函数9.复合函数10.常见的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数。11.成本函数一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本和可变成本。是一个与产品数量无关的常数，与产品的数量q有关，是q的函数，记作。所以总成本。平均成本指的是总成本与产品数量之比，记作。常见的成本函数模型是：（1）线性成本函数：，其中c是单位产品的可变成本。（2）二次成本函数：。12.收益函数收益指的是售出商品得到的总收入，等于出售单价与售出总量的乘积，即总收益函数，其中R表示收益，q表示售出的商品总量，P(q)是商品的单价与售出量的关系，是该商品的价格函数，平均收益函数为。13.利润函数在供需平衡时，某种产品获得的总利润等于出售该产品获得的总收益与生产该产品所付出的总成本之差，即总利润函数，其中L表示总利润，q表示产品数量。平均利润函数为是有盈余生产；当是亏损生产；，是无盈余生产，无盈余生产时的产量称为无盈亏点。真题小练1、已知工厂生产Q吨某产品的总成本函数C(Q)=2000+60Q（元），销售价格P=-0.1Q+100（元／吨），假定产销平衡。（1）求总利润函数。总收益函数：R(Q)=-0.1Q^2+100Q；总利润函数：L(Q)=R(Q)-C(Q)=-0.1Q^2+40Q-2000（2）产量Q为多大时总利润最大。高频考题令L'(Q)=-0.2Q+40=0,得唯一驻点Q=200.又因为L''(Q)=-0.2,从而L''(200)0.所以Q=200为极大值点，即为最大值点。故当产量Q=200（吨）时总利润最大。第二章极限与连续1.函数在一点的极限与左、右极限的关系设函数f(x)在点附近有定义，则的充分必要条件是：。2.极限的四则运算3.重要极限4.无穷小量的概念。5.无穷小量的比较（1）当c=0时，称f(x)是g(x)在时的高阶无穷小量，记作。（3）当c=1时，称f(x)是g(x)在时的等价无穷小量，记作。常用等价无穷小量：6.函数在一点连续的概念称为函数的连续点。一般地，称为自变量的改变量，称为函数在处的改变量。函数在处连续指的是：当时，有，即。7.函数在一点的单侧连续性8.间断点及其分类若函数在点处不连续，则称为的间断点。根据函数在间断点处左、右极限的情况，可将间断点进行如下分类：（1）第一类间断点：若函数在点处的左、右极限均存在，但不连续，则称为的第一类间断点。第一类间断点又可分为可去型间断点和跳跃型间断点。（2）第二类间断点：若函数在点处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称为的第二类间断点。9.连续函数的零点存在性。真题小练1、确定常数的值，使得函数。由题设，欲使在x=0处连续，须有又故第三章导数与微分1.函数在一点处的导数定义2.函数在一点处导数的几何意义（1）几何意义：函数在一点处的导数定义可看出，在点处切线的斜率，故曲线切线方程为（2）过切点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线。当时，曲线法线方程为。（3）两条曲线在点处相切指的是它们在该点的切线重合，即它们在处不仅函数值相等，导数值也相等。3.函数在一点处可导与连续的关系4.函数在一点处可微与可导的关系—微分计算公式5.导数的四则运算高频考题6.复合函数的链式求导法则:（1）复合函数的链式求导法则（2）复合函数的微分7.基本导数公式（1）幂函数的导数8.隐函数求导法①由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数，y=f(x)形式称为显函数。②隐函数求导：隐函数显化后，按显函数的求导法则进行计算；隐函数不易显化或不能显化，用复合函数求导法则直接将方程两边对自变量x求导.9.高阶导数的求法:根据高阶导数的定义及导数的运算法则，就可以求简单函数的高阶导数。真题小练1、设函数f(x)二阶可导，求y=e^xf(x)的二阶导数y''。y'=e^x[f(x)+f'(x)]，y''=e^x[f(x)+f'(x)]+e^x[f'(x)+f''(x)]=e^x[f(x)+2f'(x)+f''(x)]第四章微分中值定理和导数的应用1.罗尔定理若函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点。2.基本不定式的极限高频考题，（2）在点a的某个去心邻域内，，则。。（2）在点a的某个去心邻域内，，。上面的定理中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则。3.其他不定式达法则来计算。4、设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导。。5、设函数f(x)在点的某邻域内有定义，若对于去心邻域，，则称函数是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。6、（可导函数取极值的必要条件）设函数f(x)在点处可导，且在处取得极值，则7、（第一充分条件）设函数f(x)在点的某一邻域内连续，且在的某个去心邻域内可导。（1）若取得极大值；（2）取得极小值；（3）8、函数的最值是指其在某区间上的最大值和最小值，最值是整体性概念。若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则根据闭区间上连续函数的性质，它一定能取得最大值和最小值。9、取得最值得位置——对于可导函数f(x)而言，其在区间[a,b]上的最值要么在区间端点取得，要么在区间（a,b）内的点取得，这时有10、求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下：（1）求出f(x)在（a,b）内不存在的点，记为（2）计算函数值（3）函数值中的最大者为最大值，最小者为最小值。11、设函数f(x)在区间（a,b）内连续。若对任意恒有，则称f(x)在区间（a,b）内是凹的；若对任意恒有则称f(x)在区间（a,b）内是凸的。12、设函数在区间内具有二阶导数。13、14、15、。16.曲线的渐近线17.水平渐近线18.铅直渐近线19.导数的经济意义（1）边际成本（2）边际收益真题小练1、已知某种商品的价格为（元/公斤）时的销售量（1）问当销售量为多少时，该商品的收益最大，并求最大收益；（2）求收益最大时的价格P。收益最大的价格为P=400-2×100=200（元/公斤）第五章一元函数积分学4、变量，C称为积分常数。5、6、不定积分的基本性质7、基本积分公式高频考题8、分部积分法9、可分离变量的微分方程10、定积分的基本性质性质6（积分中值定理），使得。11、变上限积分及其导数公式函数，称为积分上限函数（或变上限积分），记作，即。12、13、上可导，且导数为，一个原函数。即，积分上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。14、微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式）15、定积分的换元积分法16、。。17、。散。18、。。19、平面图形的面积20、旋转体的体积真题小练1、求微分方程的通解分离变量得：两边积分得通解即第六章多元函数微积分1、设有三个变量x,y和z，如果当变量x,y在某一区域D内任取一组值时，变量z按照一定的法则f都有唯一的数值与之对应，则称f是D上的二元函数，记为z=f(x,y)，(x,y)∈D.其中变量x,y称为自变量，变量z称为因变量，x,y的取值区域称为二元函数的定义域.2、一般地，我们将二元及二元以上的函数统称为多元函数.3、偏导数的计算：在求函数对某个自变量的偏导数时，只要把另外的自变量看成常数，用一元函数求导法则即可求得。4、二阶偏导数（1）（2）高频考题先对x后对y的二阶混合偏导数，5、全微分与偏导数的关系6、二元隐函数的求导法则7、二元函数的极值8、二重积分的计算真题小练1、试判断点（0,1）及（1,1）是否为函数？若是极值