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第二章导数与微分导数思想最早由法国数学家Fermat在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)英国数学家Newton一、导数(微商)的背景21():),2sstsgt设运动规律(例如自由落体00ttts设从时刻到的运动位移为00()()ssttst00().ttvt求在时刻的瞬时速度00()()sttststt平均速度Δt很小,速度近乎均匀,则0()svtt00,()stvtt令§2.1导数概念)(0tss)(0tts1.自由落体运动的瞬时速度问题ttsttsts)()(00tgtttg202021)(21tgtttttg20202021)2(21).2(20ttg221)(gttfs若,令0t0000(tt)v(t)lim2tggt得瞬时速度)(0tss)(0tts割线的极限位置——切线位置切线2.切线问题过点M做割线MN,当N沿曲线C向M滑动时,若割线MN极限位置MT存在,则称直线MT为曲线C在M处的切线.Toxy()yfxCNM.0NMTlim0MN即切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置。(0),NMx也即时tantan也就有tan,yx而这样便得0limtanxyx抽去具体的物理、几何内容,从抽象的数量关系来看,都归结为下面形式的极限0000()()limlimxxfxxfxyxx)yy,xx(N,)y,x(M0000设于是的极限位置是切线割线时当,MTMN,MNN.T0xxx0oxy()yfxCM00'()limxyfxx0000()()limlimxxfxxfxyxx0(),yfxx设在点的某邻域内有定义若定义:存在极限00,xfx则称此函数在可导,极限值为函数在点处的导数或微商记作00(),,xxdfxdydxdx或即00,()|xxfxy二、导数概念1.导数定义00,,,xxxxxx在极限表示式中若令则0000000()(()()'()lm),ilimxxxfxxfxxfxfxfxxx于是··x0x0+△x△xx三种常用的表示形式:0000()()()lim.hfxhfxfxh0000()()()lim.xxfxfxfxxx0000()()()lim.xfxxfxfxx(1)(2)(3)例3求函数y=f(x)=x在x=2的导数。解用(1)式.在x=2处,当自变量有改变量x时相应的函数改变量为y=f(2+x)f(2)=2+x2=x因此,在x=2处函数y=x的导数)2(fxyx0limxfxfx)2()2(lim0xxx0lim=1用(2)式.)2(f2)2()(lim2xfxfx22lim2xxx=10000()()()lim.xxfxfxfxxx0000()()()lim.xfxxfxfxx练习:求函数在的导数xxfy1)(2x000000000()()()()()()limlimlimxxxxxxfxfxfxfxfxfxAAxxxxxx0'00'000()()lim,((),())0xxfxfxfxfxAAfxxxx左导若称为在的作数,记。0'00'000()()lim,((),())0xxfxfxfxfxBBfxxxx右导若称为在的作数,记。2.单侧导数例4讨论函数f(x)=|x|在x=0处是否可导。解由于f(0)=0,根据左导数与右导数的定义)0(fxfxfx)0()0(lim0xxx||lim0xxx0lim=1)0(fxfxfx)0()0(lim0xxx||lim0xxx0lim=1因为)0(f)0(f所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导。'(),,fxf都对应一个导数值这样就定义了一个函数(),称为简数称导函导数(,)(,)fabxab则称在区间可导。对每一()'()'dydfxfxydxdx记作或或及:(),(,)fxfxxab函数f(x)在点x0的导数,)(0xf正是该函数的导数在该点x0的值,)(xf即0|)()(0xxxfxf一点可导区间(上每),在某开导函数:若函数baf★类似可以得出1)(xx例5求函数y=x3在x=2的导数y,并求y|x=2。解先求导函数yxxxxx330)(limxxxxxxx3220)()(33lim23x将x=2代入导函数中求出导数值2|xy22|3xx=12例6求常量函数y=C的导数。解对函数y=C在定义域上的任意一点x,若自变量有改变量x,则相应的函数改变量为y=CC=0于是xyx0lim00lim0xx即有常量函数的导数公式(C)=0练习:P.412(1)(2)(3)log()loglog()1aaaxyxxxxlog()log()1111xxxxaayxxxxxxxaxxx)1(log1axexxyyaxln1log1lim'0证:例7设函数y=,证明xalogaxyln1特别地,当a=e时,有导数公式xx1)(ln例8设函数y=sinx,证明:y=cosxsin()sincos()sin222xxyxxxxsincos()222xyxxxxxxyyxcoslim'0即(sinx)=cosx用同样的方法可得(cosx)=sinx证明:练习:P.413(1)(2)(3)3.导数的几何意义与物理意义oxy()yfxT0xM(1)几何意义)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为000()().yyfxxx0001().()yyxxfx(2)物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度..lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度..lim)(0dtdqtqtit非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.解:由公式(x)=x1可得例9求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程和法线方程。y=3x2,y|x=2=12.所以,切线方程为y8=12(x2)或12xy16=0)2(1218xy或x+12y98=0法线方程为练习:P.414(1)三、可导与连续的关系推论凡可导函数都是连续函数.证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x可导=连续例yxxyoyx函数问题连续函数是否可导?00xyx时,当0x0.0点连续在函数xxy连续可导yx函数而不可导1.可导=连续=极限存在2.极限不存在=不连续=不可导极限存在:00lim()lim()xxxxfxfx连续:000lim()lim()()xxxxfxfxfx可导:000000()()()()limlimxxxxfxfxfxfxxxxx00(lim[()()]0)xxfxfx例11讨论在x=1及x=2处的可导性。2221()1(2)1232xxfxxxx,,,22lim()3lim()1xxfxfx解:∴f(x)在x=2极限不存在,因此不连续,也不可导对于x=1:1(22)0'(1)lim2,1xxfx211(2)0'(1)lim21xxfx(1)2f小结导数定义用定义求导数的方法导数的实际意义可导与连续0000()()()lim.hfxhfxfxh0000()()()lim.xxfxfxfxxx0000()()()lim.xfxxfxfxx(1)求增量y(2)求比值xy(3)求极限xyx0lim作业P41A组:1(2)2(2)(4)(5)3(2)(4)4(3)(4)
本文标题:导数的定义
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