《直线的交点坐标和距离公式》导学案(人教A版必修)

1/133.3《直线的交点坐标与距离公式》导学案【学习目标】1.直线和直线的交点，二元一次方程组的解；2．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。3.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段1.两直线的交点坐标的求法如果两条直线相交，联立方程组求，交点坐标与二元一次方程组的是一一对应的。1.若二元一次方程组有唯一解，1l与2l相交。2.若二元一次方程组无解，则1l与2l平行。3.若二元一次方程组有无数解，则1l与2l重合。例1求下列两直线交点坐标：1l：3x+4y-2=0；2l：2x+y+2=0。解：2/13例2已知a为实数，两直线1l：01yax，2l：0ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.分析：解：2.两点间距离公式的推导平面直角坐标系中两点12,PP的距离22122221PPxxyy。过12,PP分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为112200NyMx，，，，直线1122PNPM与相交于点Q。在直角12PPQ中，2221212PPPQQP，为了计算其长度，过点1P向x轴作垂线，垂足为110Mx，过点2P向y轴作垂线，垂足为220Ny，，于是有2222221212121221PQMMxxQPNNyy，所以，2221212PPPQQP=222121xxyy。由此得到两点间的距离公式例3以知点A（-1，2），B（2，7），在x轴上求一点，使PAPB,并求PA的值。解：3/13例4证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：证明：3.点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为),(00yx，直线＝0或B＝0时，以上公式0:CByAxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为AB（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,.oxyldQSRP(x0,y0)4/13所以，｜PＲ｜＝｜10xx｜＝ACByAx00｜PS｜＝｜20yy｜＝BCByAx00｜ＲS｜＝ABBAPSPR2222×｜CByAx00｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜所以可证明，当A=0时仍适用得到：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd例5求点P=（-1，2）到直线3x=2的距离。解：例6已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。解：5/134.平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd证明：例7求两平行线1l：0832yx，2l：23100xy间的距离。解：课堂小结1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。2.两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。3.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式。作业见同步练习部分拓展提升1．已知直线0323yx和016myx互相平行，则它们之间的距离是（）A.4B.13132C.26135D.261376/132、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）A．052yxB．042yxC.073yxD．053yx3.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是()4．直线3yx绕原点逆时针旋转90，再向右平移１个单位，所得到的直线为()A.1133yxB.113yxC.33yxD.113yx5．若动点),(),(2211yxByxA、分别在直线1l：07yx和2l：05yx上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A．23B．32C．33D．246．点A（1，3），B（5，－2），点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为（）A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)7.过点)1,4(P作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值。8.光线从2,0Q发出射到直线l：x+y=4上的E点，经l反射到y轴上F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程。7/139.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为２，宽为１，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上。（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）当230k时，求折痕长的最大值；（3）当21k时，折痕为线段PQ，设2(2||1)tkPQ，试求t的最大值。10.过点(2,3)的直线l被两平行直线12:2590,:2570lxylxy所截得线段AB的中点恰好在直线410xy上,求直线l的方程.参考答案新授课阶段1.两直线的交点坐标的求法交点坐标解例18/13解：联立方程组34202220xyxy解得x=-2，y=2所以1l与2l的交点坐标为M（-2，2），如下图所示：642-2-4-55yx例2分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.解：解方程组若112aa0，则a＞1.当a＞1时，－11aa0，此时交点在第二象限内.又因为a为任意实数时，都有12a1＞0，故112aa≠0因为a≠1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上，得交点(－11,112aaaa)2.两点间距离公式的推导22122221PPxxyy例3解：设所求点P（x，0），于是有2222102207xx由PAPB得2225411xxxx解得x=1。所以，所求点P（1，0）且22110222PA。9/13解法二：由已知得，线段AB的中点为12２＋７Ｍ，２，直线AB的斜率为k=1•2２２７－２２＋７３＝ｘ－ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２３２２－７７－２３线段AB的垂直平分线的方程是y-1•2２＋７３＝ｘ－２２－７在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（1，0）。因此２２ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２例4分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为22222222ABaCDaADbcBC，，2ACab２２，＋ｃ２２２ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ所以，２２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ２２２２２ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。3.点到直线距离公式10/13在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为),(00yx，直线＝0或B＝0时，以上公式0:CByAxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为AB（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,.所以，｜PＲ｜＝｜10xx｜＝ACByAx00｜PS｜＝｜20yy｜＝BCByAx00｜ＲS｜＝ABBAPSPR2222×｜CByAx00｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜所以2200BACByAxd可证明，当A=0时仍适用得到：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd例5解：d=223125330oxyldQSRP(x0,y0)11/13例6解：设AB边上的高为h，则SABC=12ABh22311322AB，AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为311331yX即x+y-4=0。点C到X+Y-4=0的距离为hh=21045211，因此，SABC=15225224.平行线间的距离公式推导过程：证明：设),(000yxP是直线02CByAx上任一点，则点P0到直线01CByAx的距离为22100BACByAxd又0200CByAx即200CByAx，∴d＝2221BACC01032yx的距离.例7解：因为1l∥2l又10,821CC.由两平行线间的距离公式得133232)10(822d拓展提升12/131.D2.A3.D4.A5.A6.B7．设a(a,0),B(0,b),(a,b0),则直线l的方程为：1byax，在直线又P(4,1)l上，114ba，又821,16,42141abSababba，等号当且仅当,2114ba2b8,a即时成立，∴直线l的方程为：x+4y－8=0,Smin=88．解：设Q关于y轴的对称点为1Q，则1Q的坐标为-2,0设Q关于l的对称点为2,Qmn，则2QQ中点为G2(,)22mn，G在l上2422mn，①又2,12nQQlm②由①②得2(4,2)Q由物理学知识可知，1Q、2Q在直线EF上，1213EFQQkk直线EF方程为:1(2)3yx，即320xy9、解：(1)①当0k时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程21y②当0k时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为(,1)Ga，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有1OGkk11kaak故G点坐标为)1,(kG，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为)21,2(kM折痕所在的直线方程)2(21kxky，即2122kykx由①②得折痕所