导数的概念与计算

第一讲导数的概念、导数的计算专题五导数及其应用1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.专题五导数及其应用(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的____________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为____________________________________．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝________________________为f(x)的导函数．切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx专题五导数及其应用2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝______________f(x)＝lnx(x0)f′(x)＝_____________________－sinxex1xlna1x0nxn－1专题五导数及其应用3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_______________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)f（x）g（x）′＝__________________________(g(x)≠0)．f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．u对xyu′·ux′y对u专题五导数及其应用⇒[C·f(x)]′=Cf′(x)求下列函数的导数：(1)y＝x3+ex+1x；(2)f(x)＝f′(1)+x2sinx；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝ln(2x－5)．考点一导数的计算专题五导数及其应用4答案1-3答案导数计算的原则和方法(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.专题五导数及其应用1.求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)(2)y＝cosxsinx；(3)y＝exlnx；(4)y＝(1＋sinx)2.解：(1)y＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.(3)y′＝exlnx＋ex·1x＝ex1x＋lnx.(4)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)·cosx.专题五导数及其应用导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；(3)已知切线方程求参数值．考点二导数的几何意义(高频考点)专题五导数及其应用（1）曲线y＝－5ex+3在点(0，－2)处的切线方程______________(2)(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．(3)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．1(1，1)专题五导数及其应用5x＋y＋2＝0(1)求曲线切线方程的步骤①求导；②求斜率k=f′(x0);切点（x0，f(x0)）③求切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线的切线方程需注意两点①切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.专题五导数及其应用2.(1)(2016·威海质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0(2)(2016·云南省调研)函数f(x)＝ln（2x＋3）－2x2x的图象在点(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．B12专题五导数及其应用解析：(1)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋lnx，所以y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln1＝1.所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.专题五导数及其应用(2)f′(x)＝22x＋3－4xx－[ln（2x＋3）－2x2]x2＝2x2x＋3－ln（2x＋3）－2x2x2，则f′(－1)＝－4，故该切线方程为y＝－4x－2，切线在x，y轴上的截距分别为－12，－2，故所求三角形的面积为12.专题五导数及其应用小结:1.导数的运算2.导数的几何意义切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)⇒k=f′(x0)⇒八个公式;四个法则;复合求导1．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx2．已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝0B．y＝2xC．y＝xD．y＝－2x3．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．4．若函数f(x)＝lnxx，则f′(2)＝___________．5．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是_______________．作业：1．(选修2­2P18练习T2(4)改编)函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosxB解析：y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.专题五导数及其应用2．(2016·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝0B．y＝2xC．y＝xD．y＝－2xB解析：因为f(x)＝2exsinx，所以f(0)＝0，f′(x)＝2ex·(sinx＋cosx)，所以f′(0)＝2，所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.专题五导数及其应用3．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．3解析：f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.专题五导数及其应用4．(2016·长春质量检测)若函数f(x)＝lnxx，则f′(2)＝___________．1－ln24解析：由f′(x)＝1－lnxx2得f′(2)＝1－ln24.专题五导数及其应用5．(2014·高考江西卷)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是_______________．(－ln2，2)解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．专题五导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放