标准偏差为什么要除以N-1

「标准偏差」为什么要除以「n1」印象中，在我的求学过程里并未接触到「标准偏差」的概念，师大毕业后在国中任教了十三年，也只有在「资料整理」中教学生画画统计图表而已；后来转进高中教学，才开始研讨「离差」及「相关系数」等教材（说白一点，第一次教高二数学时，我跟学生一样是个「初学者」）。一晃又是十三年多，对统编本「niiXxnS12)(1」的公式，无论正的、倒的、横的、竖的都可以跟学生解释得头头是道之时，ㄧ纲多本的数学教材中突然冒出了「niiXxnS12)(11」这样一个「莫名其妙」的公式（即「样本标准偏差」）。好长ㄧ段时间，心里既自责又彷徨更气愤，自责的是这十三年来被我教到的学生全被我「误」了；彷徨的是我该如何去解释这「n1」？要学生死背吗？（这那是我的教学态度？）还是另编一套理论来「误人子弟」，硬是将公式说得清清楚楚？（那又该怎么说才好呢？）气愤的是为什么不继续沿用「niiXxnS12)(1」呢？（新教材简直就是在整人吗？）……这个问题在很多的研讨会中被提出来讨论（原来我并不孤独，与我一样心路历程的人还真不少），勉强接受了「不偏估计」的说法，但会后讨论、抱怨声仍不断，多数人还是希望统一使用「niiXxnS12)(1」这个公式，不要再分什么「母群体标准偏差」或「样本标准偏差」，徒增「教」、「学」之困扰。（说的也对，您怎么分辨是「母群体」还是「样本」？题目是「求标准偏差」时，到底要算哪一个？总不会两个都要算吧？）抱怨归抱怨，心想新书既敢出版，表示「niiXxnS12)(11」这样的定义应该是无庸置疑的，不妨先弄清楚它的理论根据再说吧。没想到经过一段时间的摸索、学习之后，不但接受了这个说法，更认为「niiXxnS12)(11」应该是「高中数学」中「标准偏差」的唯一定义，略举数项个人论点如下：（仅提供参考，非论教材之是非）一、高中数学的「统计」教材，开宗明义就是「统计抽样」，其目的是想藉由抽取之「样本」所提供的信息来推估、了解「母群体」的状况。重点既然在于「由小看大」、「以少推多」，因此一概看成「样本数据」而直接采用「niiXxnS12)(11」的定义似较合理，「母群体标准偏差」应该是可以不必讨论的。二、「样本标准偏差」一词很容易被解释成「被抽取之样本数据的标准偏差」，其实不然，它应该还是「母群体」的标准偏差，因它是藉由「样本」来推估全体的标准偏差，才称之为「样本标准偏差」的。三、「班上40位同学之数学成绩的标准偏差为多少？」看到这个题目，不免要问：要除以39还是要除以40？除数为39很难算耶？只要出题者多用心，将数据凑得好，欲求近似值之小数位数给的巧，让两种算法之答案一样，争议其实不大。但如果将题目设计如「某校高一学生数百人，利用系统抽样得40位同学之成绩如下…，试估算该校高一学生成绩之标准偏差…」多点情境，或标准偏差的定义只有一个，疑问、争议都没了。四、「MicrosoftExcel」试算软件中，标准偏差函数「STDEV」所传回之值就是「样本标准偏差niiXxnS12)(11」（不信，您可试试；人家老外早就这样算），难怪以前在教统编本时，用计算机算的都非标准答案，今天才恍然大悟。五、若取母群体的算术平均数E(X)（即整群资料的中央趋势）来算离均差，因为niiniiniiXExXXEnXExXx1221212)()()()(，为了使niiXxn12)(1的值与niiXExn12)(1更接近，就必须将niiXxn12)(1的值适度放大，通常采用niiXxn12)(11作为样本标准偏差的定义，至于为什么要取「n1」，请参考大同信息教师手册中详细的说明（如附录）。【附录】所述，老师们看看可以，要跟学生讨论，那就难了！niiXxnS12)(1很好解释（「平均」除以「n」是天经地义的事），那除以「n1」该怎么讲呢？我是这样「骗」学生的，也提供您当参考。【例】某家庭10个成员的年纪为：33,47,51,57,61,65,75,80,87,94（岁）当家的是65岁的老杨，请问这个家中平均一个人差老杨几岁？【解】|33-65|=32，|47-65|=18，|51-65|=14，|57-65|=8，|61-65|=4，|75-65|=10，|80-65|=15，|87-65|=22，|94-65|=29，32+18+14+8+4+10+15+22+29=15289.169152（是除以9喔，居然少了ㄧ头「杨」！）平均一个人差老杨16.89岁。【注】这个例题是在未教「离差」之前即让学生练习，结果95%的学生是这样解的（除以9），另外5%的学生也不是除以10，他们是不屑算（我没有强迫他们非算不可）。【注】65岁恰为岁数平均数，16.89岁应可称为平均绝对离差。【附录】（摘录自大同信息第四册教师手册第274页至第277页）设全体数据数值有N个，它们分别为X1,X2,X3,…,Xn，如果以简单随机抽样法，从全体中抽出n个数值，它们分别为x1,x2,x3,…,xn，则全体的平均数NiiXNX11，全体的变异数NiiXXN122)(1。而抽到的n个数值的样本x1,x2,x3,…,xn的平均数为niixnx11，且在N个数值中取n个的方法数为CNn。因此，就有CNn个样本的平均数x，这些平均数x的平均数以)(xE表示时，)(xE的值为何呢？下面就来推算它，并讨论样本的标准偏差的处理原则。(1)XxE)(（此处X为全体的平均数）证明：令,,...,,,0,,...,,,12121沒被選入樣本時個數值中的第若被選入樣本時個數值中的第若iNiNiXiXXXXiXXX则NnPi)1(（因为每个数值被抽到的机率为N1），NnNNnPPii1)1(1)0(，因此NnNnNNnEi01)0(，而变异数22)()()(VariiiEE，其中NnNnNNnEi22201)(，即可得)1()()(Var2NnNnNnNni，又NiiiXnx11，因此XXNNnXnXEnXnExENiiNiiNiiiNiii111111)(1)1()(。(2)x的变异数nNnNx22)1(证明：对两个变数ji,而言，)()(jjiiEE之积也是一变数，记),cov()()(jijjiiEEE称为i与j的互变异数，,)1()()(11)()11()1()11()()()(),cov(222NNnNnNnNnNnNnPPNnNnPEEEijijijijiji且因此，)(Var1)1(Var)1(Var)(Var12112NiiiNiiiniixXnXnxnx22122121211221212122121222121221122)1(1)1()(11)1()2(11)1(21)1()1()(2)(1)1()(2])1([1),cov(2)(Var1NnnNXXNNnnNXNXNNnnNXXXNXNNnnNXXNXNNNnnNXXNNnNnXNnNnnNNnNnXXNnNnXnXXXnNiiNiiNiiNjijiNiiNiiNjijiNiiNjijiNiiNjijiNiiNjijijiNiii因此，nNnNx221亦即nNnNx1，通常称1NnN为有限全体的修正系数。又)(21111NnNnNnNNnN，因此，当样本抽出率Nn很小，或N无穷大时，11NnN。(3)如何选择样本标准偏差的求法(A)设niixxs12)(，其中niixnx11，NiiXNX11，则21212)()()]()[(xXnXxxXXxniiniis，因此，可知niiniiXxxx1212)()(，亦即niiniiXxnxxn1212)(1)(1，所以要以niixxn12)(1来评估全体的标准偏差时，必须将根式中的n1的n稍微缩小些，较能代表全体的标准偏差。(B)由(A)的结果与(2)的推论，可得,)1()()()()()()(222212212212nnnnXxExXnEXxExXnXxEsEniiniinii，亦可表成niixxnns122)(111ˆ，此处2ˆ用来估计2之值。所以，求n个数值样本的标准偏差以niixxn12)(11求之，较niixxn12)(1适合。