概率论

烟台大学文经学院基础教学部第4节概率的公理化定义一、概率论的公理化定义三、应用举例二、概率的性质四、小结1概率论与数理统计烟台大学文经学院基础教学部概率的古典定义和几何定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.而统计定义虽然简单直观但从数学角度讲却不严密，因为做理论研究时不可能去做大量试验去找那个频率的稳定值。为了克服上述缺点，1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)建立了概率的公理化定义,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展，成为一个严密的数学分支.烟台大学文经学院基础教学部一、概率的公理化定义,是它的样本空间，是随机试验设E,AP赋予一个实数的每一个事件对于AEP(A):如果满足下列三个条件;01AP非负性;12P规范性,,,321有对于两两互斥事件AA2121APAPAAP可列可加性P(A)A.则称为事件的概率烟台大学文经学院基础教学部.推得概率的下列性质由概率的公理化定义可1性质0.P证因为,故由概率公件两两互斥由于上式右端可列个事,有理化定义的可列可加性PPPPP,再由概率的非负性及规范性可得0.P二、概率的性质烟台大学文经学院基础教学部2性质,,,,21则两两互斥设有限个事件nAAA1212.nnPAAAPAPAPA证因为1212nnAAAAAA,1有质所以由可列可加性及性1212nnPAAAPAAA12nPAPAPAPP1200nPAPAPA12.nPAPAPA烟台大学文经学院基础教学部3性质,有对于任何事件A.1APAP证因为,.AAAA且所以PAAP.1并且APAPAAP,由以上两式可得1APAP即.1APAP烟台大学文经学院基础教学部4性质,,则且为两事件、设BABABPAPBAP证,,所以因为如图BAABBABAB并且BABA,2可得于是由性质BAPBPAP也即,BPAPBAP并且.BPAP,有又由概率的非负性0BPAPBAP即.BPAP)(ABPAPABAPBAP——减法公式烟台大学文经学院基础教学部5性质,都有对于任一事件A.1AP证,都有因为对于任一事件AA,4可得故由性质.1PAP6性质,,则为任意两个事件设BAABPBPAPBAP烟台大学文经学院基础教学部证,如图所示BAABBAABBA而且ABAB所以BAPABBPAP.ABPBPAP由此性质还可推得BAP.BPAP:还可以推广而且此结果烟台大学文经学院基础教学部CBAPABPCPBPAPABCPBCPACPDCBAPDPCPBPAPCDPBDPBCPADPACPABPABCDPACDPBCDPABDPABCP1iniAPniiAP1njijiAAP,1nkjikjiAAAP,,1nnAAAP2111烟台大学文经学院基础教学部,41,1APBA且已知为两个随机事件、设例.,21ABPBP就下列三种情况求概率　.913;2;1ABPBABA互斥与解,1所以互斥、由于BA互斥、BAABABBPABP.21BAB于是所以三、应用举例烟台大学文经学院基础教学部BABA,2所以因为BAABPABPAPBP.414121ABP3BAABBAABBPABPBP.1879121烟台大学文经学院基础教学部,41,2CPBPAPCBA且是三事件、、设例至少有　、、求.81,0CBAACPBCPABP.　一个发生的概率解CBAPACPABPCPBPAP08141213.85ABCPBCP烟台大学文经学院基础教学部•例1.10一袋中有6个质地大小一样的球,其中4白2黑.从袋中取两次,每次取一个.考虑两种取样方式:①有放回取样；②无放回取样。试就上述两种取样方式，求•⑴取到的两个球都是白球的概率；•⑵取到的两个球颜色相同；•⑶取到的两个球至少一个是白球。概率论与数理统计14课本例题简讲烟台大学文经学院基础教学部•例1.11一副扑克牌（52张），从中任取13张，求至少有一张是“A”的概率。•例1.12设事件A，B互不相容，已知P(A)=p,P(B)=q,求•例1.13已知则事件A,B,C全不发生的概率是多少?概率论与数理统计15课本例题简讲P(),P(),P(),P().ABABABAB1P()=P()P()4ABC1P()P(),P()=016ACBCAB烟台大学文经学院基础教学部•例1.14在一个池中有三条鱼甲、乙、丙，这三条鱼竞争捕食。设甲或乙竞争到食物的机会是½，甲或丙竞争到食物的机会是¾且一次竟争到的食物只能被一条鱼享用。求：•⑴甲竞争到食物的概率；•⑵哪条鱼是最优的捕食者。概率论与数理统计16课本例题简讲烟台大学文经学院基础教学部的概率是多少?少有2只鞋子配成一双求4只鞋子中至取4只,从5双不同的鞋子中任练习1.成一双只鞋子中至少有两只配设解4A一双只鞋子中恰有两只配成41A双只鞋子恰好配成242A2121AAA且,AA于是)()()()(2121APAPAAPAP则4102541022415]2[CCCCC2113烟台大学文经学院基础教学部只鞋子都不能配成双设另解4A4454102()CPAC218)(1)(APAP则21132181烟台大学文经学院基础教学部概率论与数理统计19小结1、概率的公理化定义2、概率的性质3、用减法公式时要注意条件