Gronwall不等式的推广及其应用

Gronwall不等式的推广及其应用摘要：本文主要研究了Gronwall不等式的性质,将Gronwall积分不等式中的非负常数K推广为非负变量函数)(tf;利用Gronwall积分不等式建立了函数矩阵中的一个Gronwall型积分不等式,并由此证明了一阶微分方程及一类函数矩阵微分方程解的唯一性.关键词：Gronwall不等式;一阶微分方程;函数矩阵微分方程.ThePromotionandApplicationofGronwallInequalityAbstract：Inthispaper，westudythepropertyofGronwallinequality,andgetanewinequalityaboutGronwallinequalityinsteadKwith)(tf.Furthmore,wegetanotherGronwallinequalityinfunctionalmatrix.Finally,wegettheuniquenessofsolutioninsomeFirstorderdifferentialequationandFunctionmatrixdifferentialequation.Keyword:Gronwallinequality;Firstorderdifferentialequation;Functionmatrixdifferentialequation目录1.前言………………………………………………………………………………………12.Gronwall不等式证明……………………………………………………………………13.Gronwall不等式的推广…………………………………………………………………23.1非负变量下的Gronwall不等式……………………………………………………23.2函数矩阵范数的Gronwall不等式…………………………………………………34.Gronwall不等式的应用…………………………………………………………………44.1一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题………………54.2函数矩阵微分方程解的唯一性……………………………………………………61Gronwall不等式的推广及其应用1.前言在数学中,Gronwall不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数,有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式.Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围.比如,它可以用来证明初值问题的解的唯一性.Gronwall不等式的微分形式首先由Gronwall在1919年证明.而积分形式则是由RichardBellman在1943年证明.Gronwall是一位瑞典的数学家,后来移居美国.由于本文只介绍Gronwall不等式的积分形式,故其微分形式再不做介绍.本文用两种不同的方法证明了Gronwall不等式,并给出两个相关的结论.最后给出Gronwall不等式在常微分方程中的应用.2．Gronwall不等式的证明定理2.1(Gronwall不等式)设K为非负常数,)(sf和)(sg为在t上的连续非负函数,且满足不等式)(tfK+t)()(dssgsf,则有)(tf))(exp(tdssgK,.t证明方法一:设tdssgsftR)()()(,则)()(tRKtf.用)(tg乘不等式的两边得)()()()()(tgtRtKgtgtf,即)()()()(tgtRtKgtR,再用))(exp(dssgt乘上式两边,得))(exp(dssgt))(exp()()())(exp()()(ttdssgtgtRdssgtKgtR,))(exp(dssgt))(exp()())(exp()()()(ttdssgtKgdssgtgtRtR,2))(exp())(exp()(ttdssgKdssgtR,两边从到t积分,)])(exp(1[))(exp()(ttdssgKdssgtR,并由)()(tRKtf,得)])(exp(1[))(exp(])([ttdssgKdssgKtf,所以tdssgKtft),)(exp()(.方法二:)(a当0K时,由条件不等式得)()()()()(ttgdssgsfKtgtf,两边从到t积分,得ttdttgKdssgsfK)(ln))()((ln.由上式和条件不等式知.),)(exp()(tdssgKtft)(b当0K时,这时条件不等式变为tdssgsftf)()()(,结论变为ttf,0)(.事实上,对0,成立tdssgsftf)()()(,从而由)(a可知,.),)(exp()(tdssgtft而由得任意性可知ttf,0)(.综合)(a、)(b可知.),)(exp()(tdssgKtft推论若0K,)(sf和)(sg为在t上的连续非负函数,且满足不等式t)()()(dssgsftf,则有ttf,0)(.3．Gronwall不等式的推广33.1非负变量下的Gronwall不等式在上述讨论中,“非负常数K”这个条件可以放宽,下将K改为非负函数)(tf,可得如下结果：定理3.1设)(),(thtf为),0[上的连续非负函数,满足tAdtthtftdsshsgtftg00,)(:0)(:0,)()()()(且小于无穷.则：0),()(ttfetgA.证明：由题意可知：dsshsgtftgt0)()()()(,(1)令tdsshsgtF0)()()(,给(1)两边乘以)(th可得)()()()()()(tFththtfthtg,所以有tostdsdtthshsfdsshtF))(exp()()())(exp()(00)())(exp())(exp()()0(000sfdtthdsshtfftst))(exp())())(exp(())(exp()0(0000ttttdsshdssfdsshdsshftttdsshdssfdsshf000))(exp()())(exp()0()))(exp(exp()(0tdsshtf))(exp()(0dtthtf)exp()(Atf.从而上述命题得证.3.2函数矩阵范数的Gronwall积分不等式4设)()()()()()()()()()(212222111211tbtbtbtbtbtbtbtbtbtBnnnnnn,定义3.2.1矩阵btatB在)(上称为连续的,如果的每一个元)(tB)(tbij都是在区间],[ba上的连续函数.定义3.2.2矩阵btatB在)(上称为可微的,如果的每一个元)(tB)(tbij都是在区间],[ba上是可微的.定义3.2.3矩阵btatB在)(上称为可积的,如果的每一个元)(tB)(tbij都是在区间],[ba上可积的.定义3.2.4对于nnijaAnn][矩阵和n维向量Tnxxxx),(21,我们定义范数:njiijaA1,||||||;niixx1||||,.,2,1,nji设范数的如下性质：维向量，则可得到关于是矩阵，是n,nn,yxBA||||||||||||.1BAAB;||||||||||||xAAx.||||||||||||.2BABA;||||||||||||yxyx.5由上面不难可以得到函数矩阵范数的Gronwall型不等式.定理3.2设K为非负常数,mnijmnijytBxtA))(()(,))(()(是闭区间],[ba上的连续、可微、可积函数矩阵,且满足不等式tabtadssBsAKtA,)()(||)(||,则.),||)(||exp(||)(||btadssBKtAta特别当0K时,有abtadssBsAtA0||,)()(||||)(||,推出0)(tA,推出.,0)(btatA证明:因)(||)(||,txtAnjiij,由已知和范数的性质有tataKdssBsAKdssBsAKtA||)()(||||)()(||||)(||dssBsAta||)(||||)(||,由定理2.1推出：btadssBKtAta),||)(||exp(||)(||.当0K时,有tabtadssBsAtA,||)(||||)(||||)(||,推出,0||)(||tA推出0||)(||sA,推出btatA,0)(.4.Gronwall不等式在常微分方程中的应用4.1利用定理2.1证明一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题定义4.1函数yRyxf上关于称为在),(满足Lipschitz条件,如果存在常数0L,使得不等式|||),(),(|2121yyLyxfyxf,对于所有Ryxyx),(),,(21都成立.L称为Lipschitz常数.6定理4.1已知初值问题00)(),,()(xxtxxtft有解,则其解是唯一的.证明：初值问题的等价积分方程是dsxsfxtt00),()(x.设)(t是初值问题的解,假若还另有一解为)(t,则因为)(tdsssfxt00))(,(,dsssfxtt00))(,()(.有|dsssfssfttt|))(,())(,(||)()(0tdsssL0|)()(|.其中0L为Lipschitz常数.由定理2.1和推论2.1有|))(exp(0|)()(0tLdstt,即||)()(tt0,则httttt00),()(.同理可证00),()(tthttt.4.2用定理2.1证明函数矩阵微分方程解的唯一性定理4.2已知函数矩阵微分方程初值问题)(),()()()(x0txtftxtAt有解,则其解唯一.其中)(tA)()()()()()()()()(a212221212111tatatatatatatatatnnnnnn=nnijta))((,7;)()()()(21txtxtxtxn;)()()()(x21txtxtxtn)()()()(21tftftftfn;)()()()(21ttttn;证明：设)()()()(21ttttn与)()()()(21ttttn都是初值问题的解.初值问题的等价积分方程是tdssfsxsAtx0)()()()(;tdssfssAt0)()()()(;tdssfssAt0)()()()(.tdssssAtt||)()()(||||)()(||tdstssA0||)()(||||)(||,由定理2.1有||)()(||tt)||)(||exp(00tdssA,即||)()(||tt0.则.),()(btatt