《弹塑性力学》_浙江大学

工程弹塑性力学浙江大学建筑工程学院绪论0.1课程研究对象、研究任务0.2基本假定0.3几个基本概念0.4参考书目0.1弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学:研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状态的科学。固体力学的一个分支学科研究对象:对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。PPP研究方法:材料力学、结构力学:简化的数学模型研究任务:弹塑性力学:较精确的数学模型建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问题的理论和方法。给出初等理论可靠性与精确度的度量。学习目的:确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。确定一般工程结构的承载能力。为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打下理论基础。0.2基本假定1).假定固体材料是连续介质——连续性假定2).物体为均匀的各向同性的3).物体的变形属于小变形4).物体原来是处于一种无应力的自然状态0.3几个基本概念张量的概念只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量温度、质量、力所做的功除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量物体的速度、加速度在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等张量关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：M=rn=3n标量:n=0,零阶张量矢量:n=1,一阶张量应力,应变等:n=2,二阶张量二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。0.3几个基本概念为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。123(,,)(,(1,))2,,3ixyzxxxxi下标记号法:,,,,,(,,),,,,,xxxyxzyxyyyzzxijzyzzijxyz不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)内分别取数1，2，3，…，N重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。自由标号:哑标号:0.3几个基本概念当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。求和约定:112233112233112233(:1,2,3(::,1,2,3iiiiNiijjiiiaxaxaxaxiiSllllijij哑标，）自由下标，哑标，）dij记号：Kroneker-delta记号1001,0100,001ijijijijdd张量表示：0.3几个基本概念凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并得到同阶的一个新张量，法则为：张量的计算:ijkijkijkABC1、张量的加减第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。2、张量的乘法ijklijklabC张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。3、张量函数的求导312,123iiiiuuuuuxxxx2222,,,yixzijkjkjkjkjkuuuuuxxxxxxxx0.4主要参考书目《FoundationsofSolidMechanics》1、Y.C.Fung(冯元桢)2、杨桂通3、徐秉业《Afirstcourseincontinuummechanics》《固体力学导论》《连续介质力学导论》《弹塑性力学》《应用弹塑性力学》第一章弹塑性力学基础1.1应力张量1.2偏量应力张量1.3应变张量1.4应变速率张量1.5应力、应变Lode参数0limnnApA1.1应力张量～力学的语言yxzOnnA0limsnApA正应力剪应力C过C点可以做无穷多个平面K不同的面上的应力是不同的到底如何描绘一点处的应力状态?1).一点的应力状态一点的应力状态yxzOyxyzyyxyzyzxzyzxyxzxxyxzxzxzyzPABCxxyxzijyxyyzzxzyz1.1应力张量一点的应力状态可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。应力张量数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。111213212223313233ij用张量下标记号法下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3即x、y、z方向(1.1)(1.2)1.1应力张量2).一点斜面上的应力(不计体力)112233cos(,)cos(,)cos(,)nxlnxlnxli：自由下标；j为求和下标（同一项中重复出现）。311111221331132211222233213331132233331NjjjNjjjNjjjSllllSllllSllll斜截面外法线n的方向余弦:NiijjSl令斜截面ABC的面积为11122331cos(,)1cos(,)1cos(,)OBCOACOABSnxlSnxlSnxl(1.3)(1.4)1.1应力张量斜截面OABC上的正应力:112233222111222333121223233131222NNNNSlSlSllllllllll斜截面OABC上的剪应力:2222123NNNNNSSS(1.5)(1.6)1.1应力张量3).主应力及其不变量112233NNNSlSlSl主平面:剪应力等于零的截面主应力--λ:主平面上的正应力111112213322112222333311322333NNNSlllSlllSlll代入111122133211222233311322333()0()0()0lllllllll采用张量下标记号()0iijjjldKronekerdelta记号(1.7)(1.8)(1.9)1.1应力张量dij记号：Kroneker-delta记号1,0,ijijijd方向余弦满足条件：2221231lll100010001ijd采用张量表示1iill联合求解l1,l2,l3：111122133211222233311322333222123()0()0()01lllllllllllll1,l2,l3不全等于01112132122233132330(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1应力张量联合求解l1,l2,l3：行列式展开后得：1112233kkJ112233122331213213133122233211122133()()()()()()0简化后得321230JJJ(1.14)22233331111222122323313111()2iikkikkiJ1112133212223313233ijJ(1.15)式中:是关于λ的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。主应力大小与坐标选择无关，故J1,J2,J3也必与坐标选择无关。123,,:JJJ应力不变量1.1应力张量若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：1123J2122331()J3123J(1.16)233112123,,222主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：(1.17)主剪应力面(1)213121311.1应力张量最大最小剪应力：取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:222222222222123112233112233()()()()NNNNNSSSllllll2221231lll消去l3：2222222222213123231312323()()[()()]Nllll22113131232131()[()()()]02lll22223131232231()[()()()]02lll由极值条件1200nnll及1.1应力张量最大最小剪应力：22113131232131()[()()()]02lll22223131232231()[()()()]02lll1200ll及12322;0;22lll第一组解：1200ll及第二组解：2l消去第三组解：131322323212122123220;;22lll12322;;022lll它们分别作用在与相应主方向成45º的斜截面上123max13min2因为：1.1应力张量4).八面体上的应力123•沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。1231/3lll(1.19)•八面体的法线方向余弦：•八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：123lll2221231lll八面体（每个坐标象限1个面）123arccos()arccos()arccos()5444'lll或111122223333/3,/3,/3PlPlPl(1.20)1.1应力张量4).八面体上的应力123•八面体面上的正应力为:2228112233112233123111()33PlPlPllllJ•八面体面上的剪应力为：八面体（每个坐标象限1个面）22222288812312322221223311211()()3912()()()333FJJ(1.23)(1.21)•八面体面上的应力矢量为：22222228123112233222123()()()1()3FPPPlll(1.22)平均正应力1.1应力张量例题:已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定,即x＝3,y＝0,z＝0,xy＝1,yz＝2,zx＝1,应力单位为MPa。试求该点的主应力值。代入式(1.14)后得:解:11122333003J2223333111122212232331311(3011)(0022)(0311)6J11121332122233132333001211211012231108J323680(4)(1)(2)0解得主应力为:1234;1;2;1.2应力偏量张量1).应力张量分解物体的变形ij(1.32)体积改变形状改变由各向相等的应力状态引起的材料晶格间的移动引起的球应力状态/静水压力弹性性质塑性性质ijdijS球形应力张量偏量应力张量1.2应力偏量张量1).应力张量分解000000xxyxzijijijyxyyzzxzyzSd