第七章-自旋与全同粒子

§1电子的自旋§2电子的自旋算符和自旋波函数§3简单塞曼效应§4两个角动量耦合§5光谱精细结构§6全同粒子的特性§7全同粒子体系波函数Pauli原理§8两电子自旋波函数§9氦原子（微扰法）第七章自旋与全同粒子（一）Stern-Gerlach实验(二）光谱线精细结构（三）电子自旋假设（四）回转磁比率§1电子的自旋（1）实验描述Z处于S态的氢原子（2）结论I。氢原子有磁矩因在非均匀磁场中发生偏转II。氢原子磁矩只有两种取向即空间量子化的S态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。NS（一）Stern-Gerlach实验（3）讨论中的势能为：向外场则原子在，，外磁场为设原子磁矩为BZBMcoszMBBMU磁矩与磁场之夹角原子Z向受力coszBMzUFzz分析若原子磁矩可任意取向，则cos可在（-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带但是实验结果是：出现的两条分立线对应cos=-1和+1，处于S态的氢原子=0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。3p3s5893Å3p3/23p1/23s1/2D1D25896Å5890Å钠原子光谱中的一条亮黄线5893Å，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释（二）光谱线精细结构Uhlenbeck和Goudsmit1925年根据上述现象提出了电子自旋假设（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2zSS（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：SceMS自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：BzSMceM2Bohr磁子（三）电子自旋假设（1）电子回转磁比率LceML2我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：ceSMzzS（2）轨道回转磁比率则，轨道回转磁比率为：ce2可见电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍（四）回转磁比率§2自旋算符和自旋波函数（一）自旋算符（二）含自旋的状态波函数（三）自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（五）自旋波函数•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。•自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数)ˆ,(ˆˆprFF而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为Sˆ自旋角动量轨道角动量异同点与坐标、动量无关prˆ不适用同是角动量满足同样的角动量对易关系（一）自旋算符yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSLˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆ自旋角动量轨道角动量由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取±/2两个值所以zyxSSSˆˆˆ的本征值都是±/2，其平方为[/2]22ˆS算符的本征值是2432222ˆˆˆˆzyxSSSS仿照22)1(llL2124322)1(sssS自旋量子数s只有一个数值因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x,y,z)三个坐标变量外，还需要一个自旋变量(SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：),,,,(tSzyxz由于SZ只取±/2两个值，所以上式可写为两个分量：),,,,(),(),,,,(),(2221tzyxtrtzyxtr写成列矩阵),(),(21trtr规定列矩阵第一行对应于Sz=/2，第二行对应于Sz=-/2。若已知电子处于Sz=/2或Sz=-/2的自旋态，则波函数可分别写为：),(00),(212121trtr（二）含自旋的状态波函数（1）SZ的矩阵形式电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了2×1的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是2×2矩阵。dcbaSz2因为Φ1/2描写的态，SZ有确定值/2，所以Φ1/2是SZ的本征态，本征值为/2，即有：21212zS矩阵形式0),(20),(211trtrdcba0111ca01ca（三）自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵同理对Φ–1/2处理，有),(02),(0222trtrdcba2220db10db最后得SZ的矩阵形式10012zSSZ是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±/2。（2）Pauli算符1.Pauli算符的引进ˆ2ˆS令zzyyxxSSS222分量形式ˆ2ˆˆˆˆˆiSiSS对易关系：因为Sx,Sy,Sz的本征值都是±/2，所以σx,σy,σz的本征值都是±1；σx2,σy2,σZ2的本征值都是1。即：1222zyxyzxxzxyzzyzxyyxiiiˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ分量形式：2.反对易关系0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆzxxzyzzyxyyx证：由对易关系:xyzzyiˆ2ˆˆˆˆ有：左乘σyxyyzyzyyiˆˆ2ˆˆˆˆˆˆxyyzyzyiˆˆ2ˆˆˆˆˆ2xyyzyziˆˆ2ˆˆˆˆyxyzyzyiˆˆ2ˆˆˆˆˆ2yxzyzyiˆˆ2ˆˆˆˆ二式相加0ˆˆˆˆxyyx同理可证:x,y分量的反对易关系亦成立.[证毕]xyyxˆˆˆˆ或σy2=1基于σ的对易关系，可以证明σ各分量之间满足反对易关系右乘σy由对易关系和反对易关系还可以得到关于Pauli算符的如下非常有用性质：yzxxzxyzzyzxyyxiiiˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆyzxxzxyzzyzxyyxiiiˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆzxxzyzzyxyyx3.Pauli算符的矩阵形式根据定义1001ˆ1001ˆ22zzzS求Pauli算符的其他两个分量令dcbaxˆ利用反对易关系zxxzˆˆˆˆ10011001dcbadcba得：dcbadcba00daσx简化为：00cbx0000**2ccccx22||00||ccI1||2c令：c=exp[iα](α为实），则00iixee由力学量算符厄密性000000ˆˆ**cbbccbxx得：b=c*(或c=b*)00*ccxσx2=I求σy的矩阵形式出发由xzyxzyiiˆˆˆˆˆˆ001001iiyeei得：00)()(iiee这里有一个相位不定性，习惯上取α=0，于是得到Pauli算符的矩阵形式为：1001000110zyxii从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：1001200201102zyxSiiSS写成矩阵形式（1）归一化电子波函数表示成),(),(21trtr矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即dtrtrd),(),(21*2*11]|||[|2221d（2）几率密度),(tr2221||||),(),(21trtr表示t时刻在r点附近单位体积内找到电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=/2的电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=–/2的电子的几率dtr),(1在全空间找到Sz=/2的电子的几率dtr),(2在全空间找到Sz=–/2的电子的几率（四）含自旋波函数的归一化和几率密度波函数21这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则ψ1,ψ2对(x,y,z)的依赖一样，即函数形式是相同的。此时Φ可以写成如下形式：波函数的本征函数，称为自旋是其中zzzzSSStrtSrˆ)()(),(),,(求：自旋波函数χ(Sz)SZ的本征方程)(2)(ˆzzzSSS令的自旋波函数，即和分别为本征值和22)()(2121zzSS)(2)(ˆ)(2)(ˆ21212121zzzzzzSSSSSS一般情况下，ψ1≠ψ2，二者对(x,y,z)的依赖是不一样的。（五）自旋波函数因为Sz是2×2矩阵，所以在S2,Sz为对角矩阵的表象内，χ1/2,χ-1/2都应是2×1的列矩阵。43212121aaaa代入本征方程得：2121210012aaaa2121aaaa0211aaa由归一化条件确定a111||100111*1aaaa所以0121二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交0011021211021同理作业P2127.27.37.4§3简单塞曼效应（一）实验现象（二）氢、类氢原子在外场中的附加能（三）求解Schrodinger方程（四）简单塞曼效应塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。该现象在1896年被Zeeman首先观察到（1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂现象。（2）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道-自旋相互作用不能忽略时，将产生复杂塞曼效应。（一）实验现象取外磁场方向沿Z向，则磁场引起的附加能（CGS制）为：BSLceBMMUSL)ˆ2ˆ(2)ˆˆ(磁场沿Z向BSLcezz)ˆ2ˆ(2Schrodinger方程考虑强磁场忽略自旋-轨道相互作用，体系Schrodinger方程：ESLceBrVzz)ˆ2ˆ(2)(222（二）氢、类氢原子在外