高二数学矩阵复习

第二章矩阵复习课主要内容典型例题自测题回章目录本章知识结构图矩阵概念定义相等矩阵和同型矩阵零矩阵行(列)矩阵方阵三角方阵对角方阵数量矩阵单位方阵(反)对称阵特殊矩阵分块矩阵逆矩阵相关定理及性质定义矩阵运算矩阵的和矩阵的数乘矩阵相乘方阵行列式方阵的幂回章目录１矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为一个行列矩阵或矩阵.记为或称为矩阵的第i行j列的元素.元素为实数的称为实矩阵,元素为复数的称为复矩阵.2.几种特殊矩阵元素全为零的矩阵，记为:O或mn零矩阵:行矩阵:只有一行的矩阵。12,,,naaa列矩阵:只有一列的矩阵。方阵:行数列数皆相等的矩阵。上三角方阵:非零元素只可能在主对角线及其上方。下三角方阵:非零元素只可能在主对角线及其下方.对角方阵:124aaa数量矩阵:单位方阵:主对角线上全为1的对角方阵.3.矩阵的运算同型矩阵:行数和列数均相等的矩阵.如果两个矩阵是同型矩阵,且各对应元素也相同,即则称矩阵相等,记作两个矩阵的和矩阵的和:矩阵相等:定义为矩阵的数乘:定义为矩阵的线性运算的运算规律:矩阵相乘:与乘积规定为一个矩阵其中矩阵乘法的运算规律（其中为数）;n阶方阵的幂:若A是阶矩阵，定义为A的次幂,为正整数，。规定即易证转置矩阵:把Amn的行与列依次互换得到另矩阵nm矩阵，称为一个ATA的转置矩阵，记作转置矩阵的运算性质对称阵:设为阶方阵，如果满足，即.则称为对称阵.反对称阵:伴随方阵:ijaijAaijA设是行列式中元素的代数余子式,称方阵1121112222*12nnmmnmAAAAAAAAAA**AAAAAAAEA为方阵的伴随方阵.回章目录4.方阵的行列式由阶方阵的各元素按原位置排列构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质1212nnAAAAAA5.逆矩阵对于阶矩阵，如果存在阶矩阵,使得则称为可逆矩阵，是的逆方阵。定义若方阵A可逆，则其逆矩阵必唯一。0A可逆A相关定理及性质11AA;111kAAk(0k);，111ABBA11TTAA,;11AA.，则0AA*1AAA若可逆，且，其中*AA为的伴随方阵。6.分块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似．回章目录典型例题一、矩阵的运算二、有关逆矩阵的运算及证明三、矩阵方程及其求解方法回章目录一、矩阵的运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率.例1注：对一般的阶方阵，我们常常用归纳的方法求.例2解:例3若阶实对称阵满足,证明证:为对称阵,故有,因此有比较两端的元素由于为实数,故即二、有关逆矩阵的运算及证明1.利用定义求逆阵利用定义求阶方阵逆阵，即找或猜或凑一个阶方阵，使或，从而.例4例42.利用伴随矩阵求逆阵例5注：对2阶数字方阵求逆一般,都用来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用求其逆阵，因为若用去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下章所介绍的初等变换法.回章目录3.利用分块矩阵求逆阵例6从而4.利用定义证明某一矩阵为矩阵的逆阵例7注：1.矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：①证明矩阵可逆；②求逆阵；③证明矩阵是矩2.证明矩阵A可逆，可利用A的行列式不为零或找一个矩阵B，使AB=E或BA=E等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用A*(如2阶矩阵)或初等变换(3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块矩阵来做.对抽象的矩阵A，若求其逆，一般是用定义或A*来做；证明矩阵B是矩阵A的逆阵，只需验证AB=E或BA=E即可.阵的逆阵.三.矩阵方程及其求解方法矩阵方程解例8以及及，再求及就麻烦多了.因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.例9注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求回章目录第二章自测题一、填空题(8分/题)1)为3阶方阵,已知则3)已知则二.证明题(26分)自测题答案1)3,1/3,9,,-1/3;2)4;3)0;一.三.回章目录结束放映