[原创]2012年《高考风向标》高考理科数学一轮复习 第四章 第5讲 定积分及其应用举例 [配套课件

第5讲定积分及其应用举例1．定积分性质2．微积分基本定理(1)bakf(x)dx＝kbaf(x)dx.(2)ba[f1(x)±f2(x)]dx＝baf1(x)dx±baf2(x)dx.(3)caf(x)dx＋bcf(x)dx＝baf(x)dx(acb)．一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，则baf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把F(b)－F(a)，记作F(x)|ba，即__________________________.baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)3．常见求定积分的公式区域的面积为()DA．1B．－12C．1或－12D．－1或－121.曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区2．等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝304xdx，则公比q的值为()CA1653．若π20(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于()A．－1B．1C．－3D.34．若1a－1(2x＋1)dx＝2，则a＝_____.5．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是_____m.解析：π20(sinx-acosx)dx=(-cosx-asinx)π20＝－a＋1＝2，a＝－1.定积分的计算考点1例1：计算下列定积分(1)2π0|sinx|dx；(2)20|x2－1|dx；(3)322166xxdx.解题思路：简单的定积分计算只需熟记公式即可．解析：(1)∵(－cosx)′＝sinx，∴2π0|sinx|dx＝π0|sinx|dx＋2ππ|sinx|dx＝π0sinxdx－2ππsinxdx＝－cosx|π0＋cosx|2ππ＝－(cosπ－cos0)＋(cos2π－cosπ)＝4.(2)∵0≤x≤2，于是|x2－1|＝221(12)1(01)xxxx，∴20|x2－1|dx＝10(1－x2)dx＋21(x2－1)dx＝13013xx＋23113xx＝1－13＋13×23－2－13－1＝2.【互动探究】10(3)设y＝16＋6x－x2，即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)．∵3216＋6x－x2dx表示以5为半径的圆的四分之一的面积，∴3216＋6x－x2dx＝254π.1．(1)21|x2－x|dx＝______.116(2)40(|x－1|＋|x－3|)dx＝____.考点2定积分的应用求平面区域的面积解题思路：因为在[0，π]上，sinx≥0，其图像在x轴上方；在[0,2π]上，sinx≤0其图像在x轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积．图4－5－1例2：求在[0,2π]上，由x轴及正弦曲线y＝sinx围成的图形的面积．解析：作出y＝sinx在[0,2π]上的图像如图4－5－1，y＝sinx与x轴交于0，π，2π，利用定积分求平面图形的面积应严格按照作图、求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行．所求面积S＝π0sinxdx＋2ππsindxx＝(－cosx)|π0－(－cosx)|2ππ＝4.【互动探究】2．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0，x＝2所围成的平面图形的面积为__.解析：S＝10(x2＋2－3x)dx＋21(3x－x2－2)dx＝1.1考点3物理方面的应用解题思路：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．解析：由题意，v0＝54(千米/时)＝15(米/秒)，∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令∴v(t)＝0得15－3t＝0，t＝5，即5秒时，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为例3：汽车以每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？s＝50v(t)dt＝50v(15－3t)dt＝5203152tt＝37.5(米)＝0.0375(公里)．答：汽车走了0.0375公里．若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为v＝v(t)(v(t)≥0)，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在[a，b]时间内的路程s是曲边梯形(如图4－5－2的阴影部图4－5－2分)的面积，即路程s＝bav(t)dt；如果v(t)≤0(a≤t≤b)时，则路程s＝－bav(t)dt.【互动探究】3．物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少(时间单位为：s，速度单位为：m/s)?解：设A追上B时，所用的时间为t0依题意有sA＝sB＋5，即00t(3t2＋1)dt＝00t10tdt＋5，t30＋t0＝5t20＋5，t0(t20＋1)＝5(t20＋1)，t0＝5(s)，所以sA＝5t20＋5＝130(m)．错源：计算定积分没有注意分类讨论例4：计算下列定积分：21|1－x|dx.误解分析：未进行分类讨论，直接将|1－x|等同于(1－x)计算导致错误．正解：21|1－x|dx＝11(1－x)dx＋21(x－1)dx＝111dx－11xdx＋21xdx－211dx＝2－0＋32－1＝52.纠错反思：当被积函数是一个带有绝对值的函数，积分去绝对值符号时，看被积函数在积分区间是否要变号.【互动探究】4．曲线y＝x2，y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积_____.76解析：作出y＝x2，y＝x及y＝2x的图像如图4－5－3.解方程组y＝2xy＝x2得x＝2y＝4或x＝0y＝0.解方程组y＝xy＝x2得x＝1y＝1或x＝0y＝0.∴所求面积S＝10(2x－x)dx＋21(2x－x2)dx＝10xdx＋21(2x－x2)dx＝21223011123xxx＝76.图4－5－3例5：(2010年福建)(1)已知函数f(x)＝x3－x，其图像记为曲线C.①求函数f(x)的单调区间；②证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2(x2，f(x2))处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1、S2，则S1S2为定值；(2)对于一般的三次函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，请给出类似于(1)②的正确命题，并予以证明．解析：(1)①由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1＝3x－33x＋33，当x∈－∞，－33和33，＋∞时，f′(x)0；当x∈－33，33时，f′(x)0，因此，f(x)的单调递增区间为－∞，－33∪33，＋∞，单调递减区间为－33，33.②曲线C与其在点P1处的切线方程为y＝(3x21－1)(x－x1)＋x31－x1，即y＝(3x21－1)x－2x31.由y＝3x21－1x－2x31y＝x3－x得x3－x＝(3x21－1)x－2x31，即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，解得x＝x1或x＝－2x1，故x2＝－2x1，进而有S1＝11232311(32)dxxxxxxx＝274x41，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3＝－2x2和S2＝274x42，又x2＝－2x1≠0，所以S2＝27×164x41≠0，因此有S1S2＝116.(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图像为曲线C′，类似于(1)②的正确命题为：若对任意不等于－b3a的实数x1，曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C与其在点P2(x2，g(x2))处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2，则S1S2为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y＝g(x)的对称中心－b3a，g－b3a平移至坐标原点，因而不妨设g(x)＝ax3＋hx(x≠0)，类似①②的计算可得S1＝274x41，S2＝27×164x41≠0，故S1S2＝116.【互动探究】5．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图4－5－4中阴影部分的面积S1与S2之和最小．图4－5－4解：S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－0tx2dx＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t，x＝1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2、(1－t)，即S2＝1tx2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S为S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．∵S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.当t＝12时，S最小，∴最小值为S12＝14.在恒力作用下，物体沿力的方向移动s，则恒力所作的功为W＝fs，当F(x)为变力的，物体在变力F(x)作用下沿x轴作直线运动，物体从x＝a移动到x＝b，根据定积分概念知变力所作的功W＝baF(x)dx.1．已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx，其中t为常数，且0t1.直线l2与函数f(x)的图像以及直线l1、l2与函数f(x)的图像围成的封闭图形如图4－5－5中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．(1)求函数S(t)的解析式；(2)若函数L(t)＝S(t)＋6t－2，判断L(t)是否存在极值，若存在，求出极值，若不存在，说明理由；(3)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．图4－5－5解：(1)由y＝3x2－3xy＝3tx，得x2－(t＋1)x＝0,所以x1＝0，x2＝t＋1.所以直线l2与f(x)的图像的交点的横坐标分别为0，t＋1.因为0t1，所以1t＋12.所以S(t)＝10t[3tx－(3x2－3x)]dx21t[(3x2－3x)－3tx]dx＝(t＋1)3－6t＋2.(2)由(1)知L(t)＝S(t)＋6t－2＝(t＋1)3，L′(t)＝3(t＋1)20，所以0t1时，L(t)为增函数，故不存在极值．(3)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，则h′(x)＝3(x＋1)2－6.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，则3(x0＋1)2－6＝x0＋13－6x0＋2－mx0－1，化简整理得2x30－6x0＋m＝0有三个不等实根．设g(x0)＝2x30－6x0＋m，则g′(x0)＝6x20－6.由g′(x0)0，得x01或x0－1.所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递增．所以，当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值，当x0＝1时，函数g(x0)取极小值，因此，关于x0的方程2x30－6x0＋m＝0有三个实根的充要条件是g－10g10，即m＋40m－40，即－4m4.故实数m的取值范围是(－4,4).2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数