2014届高考数学理二轮复习：专题-函数与方程思想

本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做【高考考情解读】数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用．数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做思想方法概述第1讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破类型一函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破解(1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)因为Sn＝n(n＋1)，bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋…＋12n2n＋1＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3，令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝16，所以实数k的最小值为16.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144.(1)求数列{an}的通项an；(2)设数列{bn}的通项bn＝1anan＋1，记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值．解(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144，∴S10＝145，∴S10＝10a1＋a102，∴a10＝28，∴公差d＝3.∴an＝3n－2(n∈N*)．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破(2)由(1)知bn＝1anan＋1＝13n－23n＋1＝1313n－2－13n＋1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝131－13n＋1，∴Sn＝n3n＋1.∵Sn＋1－Sn＝n＋13n＋4－n3n＋1＝13n＋43n＋10，∴数列{Sn}是递增数列．当n≥3时，(Sn)min＝S3＝310，依题意，得m≤310，∴m的最大值为310.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破类型二函数与方程思想在方程问题中的应用例2如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，π2]上有解，求a的取值范围．解方法一设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，π2])．显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝(sinx＋12)2－54，且由x∈(0，π2]知sinx∈(0,1]．易求得f(x)的值域为(－1,1]．故a的取值范围是(－1,1]．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破方法二令t＝sinx，由x∈(0，π2]，可得t∈(0,1]．将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解．设f(t)＝t2＋t－1－a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－12，如图所示．因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于f00f1≥0，即－1－a01－a≥0，∴－1a≤1.故a的取值范围是(－1,1]．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破当a为何值时，方程lg(3－x)＋lg(x－1)＝lg(a－x)有两解？一解？无解？解当3－x0，x－10，即1x3时，方程化为(x－1)(3－x)＝a－x，即－x2＋5x－3＝a.(*)作出函数y＝－x2＋5x－3(1x3)的图象(如图)，该图象与直线y＝a的交点横坐标是方程(*)的解，也是原方程的解．由图形易看出：当3a134时，原方程有两解；当1a≤3或a＝134时，原方程有一解；当a134或a≤1时，原方程无解．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破类型三函数与方程思想在不等式中的应用例3设f(x)＝lnx＋x－1，证明：(1)当x1时，f(x)32(x－1)；(2)当1x3时，f(x)9x－1x＋5.证明(1)方法一记g(x)＝lnx＋x－1－32(x－1)，则当x1时，g′(x)＝1x＋12x－320.又g(1)＝0，所以有g(x)0，即f(x)32(x－1)．方法二当x1时，2xx＋1，故xx2＋12.①令k(x)＝lnx－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝1x－10，本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破故k(x)0，即lnxx－1.②由①②得，当x1时，f(x)32(x－1)．(2)方法一记h(x)＝f(x)－9x－1x＋5，由(1)得h′(x)＝1x＋12x－54x＋52＝2＋x2x－54x＋52x＋54x－54x＋52＝x＋53－216x4xx＋52.令G(x)＝(x＋5)3－216x，则当1x3时，本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破G′(x)＝3(x＋5)2－2160，因此G(x)在(1,3)内是减函数．又由G(1)＝0，得G(x)0，所以h′(x)0.因此h(x)在(1,3)内是减函数．又h(1)＝0，所以h(x)0.于是当1x3时，f(x)9x－1x＋5.方法二记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1x3时，由(1)得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－932(x－1)＋(x＋5)·1x＋12x－9本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破＝12x[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]12x3xx－1＋x＋52＋x2＋12－18x＝14x(7x2－32x＋25)0.因此h(x)在(1,3)内单调递减．又h(1)＝0，所以h(x)0，即f(x)9x－1x＋5.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.解析若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4；本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破当x0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3，g(x)＝3x2－1x3在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案4本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破类型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为22，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为22.(1)求椭圆的方程；(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破解(1)由已知，椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，设F(c,0)，直线l：x－y－c＝0，由坐标原点O到l的距离为22，得|0－0－c|2＝22，解得c＝1.又e＝ca＝22，故a＝2，b＝1，∴所求椭圆方程为x22＋y2＝1.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破(2)假设存在点M(m,0)(0≤m≤1)满足条件，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x2＋2y2＝2，y＝kx－1，可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.显然Δ0恒成立，∴x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.设线段PQ的中点为N(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝2k21＋2k2，y0＝k(x0－1)＝－k1＋2k2.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做热点分类突破∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴MN⊥PQ，∴k