高考数学排列组合常见方法

1排列组合中的常用方法1.排列数：)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnPmn，（其中m≤n，m、nN）.注意：为了使m=n时，!)!(!nnnnPPnnmn公式成立，我们规定10！（同时11！）.2.组合数：)!(!!123)2)(1()1()2)(1(mnmnmmmmnnnnPPCmmmnmn),,(nmNmn且mnnmnCC),,(nmNmn且.注意：为了使m=n时，0nnnCC公式成立，我们规定10nC，所以111010kkkkkkCCCC；3.排列组合问题联系生活实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题或是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。4.排列组合中的常用方法如下：（1）特殊元素和特殊位置问题——优限法（2）多元问题——合理分类与分步法（3）相邻问题——捆绑法（4）不相邻问题——插空法（5）定序问题——倍缩法（6）重排问题——求幂法（7）平均分组问题——除序法（8）分组问题——隔板法（9）分配问题——先分组后排列法（10）球盒问题（11）区域涂色问题——分步与分类综合法（12）“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题——排除法或分类法（“正难则反”策略）（13）元素个数较少的排列组合问题——枚举法（14）复杂的排列组合问题——分解与合成法21.特殊元素和特殊位置问题——优限法元素分析法和位置分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，则先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，则先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。例1.从含有甲乙的6名短跑运动员中任选4人参加4*100米接力，问其中甲不能跑第一棒，且乙不能跑第四棒的概率是_____________2.多元问题——合理分类与分步法例2.（1983第1届美国高中数学邀请赛）数1447，1005和1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？3.相邻问题——捆绑法将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有11knknP种排法，然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有kkP种方法。由乘法原理得，符合条件的排列共kkknknPP11种。例3.六种不同的商品在货架上排成一排，其中ba,两种必须排在一起，而dc,两种不能排在一起，则不同的选排方法共有______种。4.不相邻问题——插空法不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻()knk≤，有多少种排法？先把()nk个元素排成一排，然后把k个元素插入(1)nk个空隙中，共有排法kknP1种。例4.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为______________35.定序问题——倍缩法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法，此法也叫作消序法。如将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？将n个不同元素排列成一排，共有nnP种排法；k个不同元素排列成一排共有kkP种不同排法。于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的kkP分之一。故符合条件的排列共有kknnPP种。例5.（2013浙江）将FEDCBA,,,,,六个字母排成一排，且BA,均在C的同侧，则不同的排法共有________种。6.重排问题——求幂法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。一般地，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为nm种。例6.把7个不同的小球放入4个不同的盒子，共有_______种不同的方法。7.平均分组问题——除序法平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以阶乘n!(n为均分的组数)，避免重复计数。例7.已知3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_________种。8.分组问题——隔板法将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法种数为11mnC.例8.有5本相同的数学书和3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上，并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为_____________9.分配问题——先分组后排列法例9.将9个学生分配到3个不同的三个宿舍，每宿舍至多4人（床铺不分次序），则不同的分配方法有多少种？410.球盒问题例10.（1）8个相同的球放入3个相同的盒子，不能有空盒的放法种数等于_________（2）8个相同的球放入3个相同的盒子，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等于_________（3）8个相同的球放入3个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数为__________（4）8个相同的球放入3个不同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数为__________（5）8个不同的球放入3个相同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于__________（6）8个不同的球放入3个相同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等于__________（7）8个不同的球放入3个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于__________（8）8个不同的球放入3个不同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等于_____总结：（1）ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），不能有空盒的放法种数等于ｎ分解为ｍ个正整数的和的种数。（2）ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个正整数的和的所有种数之和。（3）ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），不能有空盒的放法种数为：11mnC.（4）ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）可以转化为先将(ｎ+m)个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），不能有空盒，然后再从每个盒子中取出一个球即可，所以ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数为11mmnC.也可以多次利用隔板法，ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒的放法种数为得出：1111131211)!1(...mmnmnnnnCmCCCC.不等于ｍｎ种。（5）ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n≥m），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数。（6）ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之和。（7）ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数再乘以ｍ！.（8）ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等于ｍｎ种。注意：（1）解决球盒问题的基本思路是先把球分组再把球分配，即先组合后排列。（2）当球和盒子都相同时，只需把球分组即可、不需分配。且分组时不能运用组合公式，因为5使用组合公式的前提是各元素要不同。（3）当球相同、盒子不同时，运用隔板法（盒子不能空）或者连续隔板法（盒子可以空，注意排除重复计数的情况）把球分组即可、不需分配，球相同时不能使用组合公式分组，这里运用组合公式分组实际上已经把分配的排序问题解决了。（4）当球不同、盒子相同时，只需使用组合公式把球分组即可、不需分配。分组过程中存在平均分组时需要倍缩除序。综合（3）和（4）可知，当球和盒子中有一项不同时，只需分组不需分配：当球相同、盒子不同时，运用隔板法或者连续隔板法分组；当球不同、盒子相同时，使用组合公式分组。（5）当球和盒子都不同时，只需使用组合公式把球先分组，然后再分配（盒子不能空）或者分步分配每个球（盒子可以空）。11.区域涂色问题——分步与分类综合法解答区域涂色问题，一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类。以上三种方法常会结合起来使用。例11.某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有____________种。12.“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题——排除法或分类法（“正难则反”策略）例12.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有_________13.元素个数较少的排列组合问题——枚举法例13.已知3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有______种。14.复杂的排列组合问题----分解与合成法分解与合成法是排列组合问题的一种最基本的解题策略，即把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案。每个比较复杂的问题都可以用这种解题策略。例14.自然数30030能被多少个不同偶数整除？6变式训练：1.（2012全国Ⅰ）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有_____________种。2.设𝑎1，𝑎2，…，𝑎𝑛是1，2，…，𝑛的一个排列，把排在𝑎𝑖的左边且比𝑎𝑖小的数的个数称为𝑎𝑖的顺序数(𝑖=1，2，…，𝑛).如在排列6，5，4，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0.则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为__________3.设集合1234{,,,|1,0,1,1,2,3,4}iAxxxxxi，那么集合A中满足条件：“222212344xxxx”的元素个数为__________4.设集合𝐴={(𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5)|𝑥𝑖∈{−1，0，1}，𝑖={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|𝑥1|+|𝑥2|+|𝑥3|+|𝑥4|+|𝑥5|≤3”的元素个数为______________5.如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1、C2、…、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.则：（1）以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？6.将25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为__________种。7.学生在拼写“hollywood”可能的拼写错误有_________种。8.将20个相同的小球，全部装入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数，则共有________种不同的放法。9.（2015静安区一模）两名高一学生被允许参加高二年级象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分；两名