【第7章】有限脉冲响应数字滤波器的设计解读

贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》第七章FIR数字滤波器的设计贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》主要内容线性相位FIR数字滤波器的条件和性质窗函数法设计FIR数字滤波器频率采样法设计FIR数字滤波器切比雪夫逼近法设计FIR数字滤波器IIR和FIR数字滤波器的比较贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》对于N点长h(n)，传输函数为：10)()(NnnznhzHH(z)有(N-1)个零点，有(N-1)阶重极点z=0.因此，系统永远稳定.稳定和线性相位是FIR滤波器的突出优点.7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》FIR滤波器h(n)的长度为N，其系统函数为：)(10)()()(jgNnnjjeHenheH1.线性相位条件Hg()称为幅度特性，J()称为相位特性.Hg()不同于|H(ej)|，Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值.H(ej)线性相位指J()是的线性函数.即贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》分别称为第一类线性相位和第二类线性相位.满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称。即：h(n)=h(N-n-1)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称。即：h(n)=-h(N-n-1)是起始相位是常数)()(00θω贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》(1)第一类线性相位条件证明10()()NnnHzhnz将线性相位条件代入上式，则有：10()(1)NnnHzhNnz令m=N-n-1,则有：11(1)(1)00(1)1()()()()()NNNmNmmmNHzhmzzhmzHzzHz贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》102121)21(10)1(1)1()](21)[(])[(21)]()([21)(NnNnNnNNnnNnNzznhzzzznhzHzzHzH可以将H(z)表示为：将z=ejω代入上式得11()201()()cos[()]2NNjjnNHeehnn贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》101()()cos[()]21()(1)2NgnNHhnnN幅度函数和相位函数分别为：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》1100()()(1)NNnnnnHzhnzhNnz令m=N-n-1，则有：(2)第二类线性相位条件证明11(1)(1)00(1)1()()()()()NNNmNmnnNHzhmzzhmzHzzHz可以将H(z)表示为：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》102121)21(10)1(1)1()](21)[(])[(21)]()([21)(NnNnNnNNnnNnNzznhzzzznhzHzzHzH1120112201()()()sin[()]21()sin[()]2jNNjjzenNNjjnNHeHzjehnnNehnn将z=ejω代入上式得贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》幅度函数和相位函数分别为：101()()sin[()]21()()22NgnNHhnnNQ贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》FIR滤波器h(n)的长度N取奇数还是偶数，对Hg()的特性有影响，因此，对于两类线性相位，有四种情况.2.幅度特性Hg()的特点幅度函数Hg()为：101()()cos[()]2NgnNHhnn(1)h(n)=h(N-n-1)，N=奇数贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》式中h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对，以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2.(3)/2011()()2()cos[()]22NgnNNHhhnn令m=(N-1)/2-n→n，则有(1)/21(1)/2011()()2()cos22()()cosNgmNgnNNHhhmmHann贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》1(0)()211()2()1,2,3,,22NahNNanhnn式中式中cosn项对=0,,2偶对称.幅度特性的特点是对=0,,2是偶对称.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项.101201()()cos[()]212()cos[()]2NgnNnNHhnnNhnn(2)h(n)=h(N-n-1)，N=偶数令m=N/2-n→n，则有贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》/21/211()2()cos[()]221()()cos[()]2()2()1,2,,22式中：NgmNgnNHhmmHbnnNNbnhnn式中余弦项在=时为零，且对=奇对称，因此幅度特性的特点是对=奇对称，且在=处有一零点.高通和带阻滤波器不适合采用这种情况.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》101()()sin[()]2NgnNHhnn(3)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数0)21()21()121()21()1()(NhNhNNhNhnNhnh可见h(n)奇对称时，中间项为零.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》在Hg()中h(n)对(N-1)/2奇对称，正弦项对该点也是奇对称.在求和式中将相同项合并，共合并成(N-1)/2项.2/)3(1)]21(sin[)(2)(NngnNnhH令m=(N-1)/2-n→n，则有(1)/21()()sin11()2()1,2,,22式中：NgnHcnnNNcnhnn贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》式中sinn项在=0,,2时为零，因此幅度特性的特点是对=0,,2处为零。即在z=±1处是零点.Hg()对=0,,2呈奇对称.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》101201()()sin[()]212()sin[()]2NgnNnNHhnnNhnn令m=N/2-n，则有(4)h(n)=-h(N-n-1)，N=偶数类似(3)情况：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》式中正弦项在为=0，2时为零→幅度特性Hg()在=0，2处为零。即在z=1处是零点.Hg()对=0，2呈奇对称，对=呈偶对称./21/211()2()sin[()]221()()sin[()]2()2()1,2,3,22NgmNgnNHhmmHdnnNNdnhnn式中：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》(1)1()()NHzzHz3.线性相位FIR滤波器零点分布若zi是H(z)的零点，则zi-1必然也是其零点.因为h(n)是实序列，H(z)的零点必然共轭成对，所以zi*和(zi-1)*也是其零点.确定其中一个，另外三个也就确定了.第一、二类线性相位的系统函数表示：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》线性相位FIR滤波器零点分布贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》1112002()()()()NNNnnnNnmnHzhnzhnzhnz令m=N-n-1，则有4.线性相位FIR滤波器的网络结构设N为偶数，则有1122(1)00()()(1)()(1)NNnNmnmHzhnzhNmzhnhNn12(1)0()()[]NnNnnHzhnzz贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》(1)112(1)201()()[]()2NNnNnnNHzhnzzhz若N为奇数，则将中间项h[(N-1)/2]单列.FIR的直接型结构需要N个乘法器.FIR的线性相位结构：当N=偶数时，需要N/2个乘法器，当N=奇数时，需要(N+1)/2个乘法器.FIR的线性相位结构节约了近一半的乘法器.总结：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》第一类线性相位网络结构贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》第二类线性相位网络结构贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》7.2窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，对应的单位脉冲响应是hd(n).nnjdjdenheH)()(deeHnhnjjdd)(21)(如果能够由已知的Hd(ej)求出hd(n)，经过ZT可得到滤波器的系统函数H(z).)()()(1zHnheHZTdFTjd贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》()0jacjdceHesin[()]1()2()ccjajncdnahneedna显然，hd(n)是无限长非因果序列.例如:理想低通滤波器一般情况下，Hd(ej)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，所以hd(n)是无限时宽，且非因果.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》为构造长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称.设截取的一段用h(n)=hd(n)RN(n)表示.实际实现的滤波器的h(n)长度为N，其系统函数为H(z).10()()NnnHzhnz用有限长h(n)去代替无限长hd(n)，必然会带来误差，表现在频域上就是吉布斯(Gibbs)效应(引起通带和阻带内的波动).贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》理想低通的单位脉冲响应及矩形窗贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展开为Fourier级数，系数就是Hd(ej)对应的hd(n).即()()jjnddnHehne截断效应的讨论FIR设计就是寻找有限项傅立叶级数的系数去近似代替无限项傅立叶级数的系数.这种近似会在一些频率不连续点附近引起较大误差.即所谓的截断效应.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》()1()()()2jjjdNHeHeRed矩形窗截断效应对上式进行FT，根据复卷积定理：11001(1)2()()sin(/2)()sin(/2)NNjjnjnNNnnjNjNReRneeNeRe式中：()()()dNhnhnRn贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》将Hd(ej)写成如下形式：()()jjaddHeHe1()0cdcH式中：将Hd(ej)和RN(ej)代入卷积式得：()1()()()21()()2jjajadNjadNHeHeRedeHRd贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》将H(ej