二次型化为标准形的几种方法

..2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日..目录1引言.................................................................12关于二次型定义.......................................................13二次型化为标准型的方法...............................................33.1正交变换法.......................................................33.2.配方法..........................................................53.3.初等变换法......................................................73.4.雅可比方法......................................................83.5.偏导数法.......................................................104.小结...............................................................14参考文献.............................................................15致谢.................................................................16..二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法SeveralMethodsofChangingtheQuadraticintotheStandardAbstract：Quadraticistheimportantcontentshouldstudyalgebra,inourstudiesofquadraticproblem,forconvenience,willusuallybequadraticintostandardform.Thisisbothakeyisadifficulty,thispaperintroducessomeHuaErtimesforthestandardformoforthogonaltransformmethod,method:matchmethod,elementarytransformation,jacobianmethod,partialderivativemethod.Thetextintroducesseveralmethodsdefinedandconcretestep,simultaneouslygivesappropriateexamplestoillustrate.Amongthem,thepartialderivativemethodandmatchmethodandsimilar,buttheformerhasthefixedsteps,andmatchmethodneedtoobservedtoformula.Keywords:orthogonaltransformmethod;matchmethod;elementarytransformation;jacobianmethod;partialderivativemethod..1引言二次型是代数学中的一个重要问题，它在数学中占有重要地位，在实际生活中也有着广泛的应用。其中二次型的一个很重要的问题就是将二次型化为标准型问题。针对这一问题，本文将逐一列举五种化二次型为标准型的方法，分别是：正交变换法、配方法、初等变换法、雅克比方法、偏导数法。并且将具体给出每种方法的特点及适用范围，并给出例题。2关于二次型定义定义2.1.1设V是数域K上的向量空间，如果V中任意一对有序向量),(都按照某一法则f对应于K内唯一确定的一个数，记作),(f，且(i)对任意1k，2kK，1，2，V，有f),(2211kk=1k),(1f+2k),(2f；(ii)对任意1l，2lK，，1，2V，有f),(2211ll=1lf),(1+2lf),(2；则称),(f是V上的一个双线性函数.定义2.1.2设V是数域K上的向量空间，),(f是V上的一个双线性函数.如果V中任意一对有序向量),(有),(f=),(f，则称),(f是V上的一个对称双线性函数.定义2.1.3设V是数域K上的线性空间，),(f是V上双线性函数，当时，V上函数),()(fQf称为),(f对应的二次型函数.给定V上一组基12,,...,n，设),(f的度量矩阵为nnijaA)(，对V中任一向量1niiix有jinjijnixxaf11),(.(1)这式中ijxx的系数ijji.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为nnijaA)(，及nnijaB)(,只有ijjiijjibb，,1,2...ijn.所以其所对的二次齐次函数是相同的，得到很多双线性函数可以对应于相同二次齐次函数，现要求A为对称矩阵，就相当于使双线性函数对称，则一个对称双线性函数只与一个二次齐次函数对应.从(1)我们可以得到：一个二次齐次函数的坐标表达式其实和二次型等价，又因为它与对称矩阵相对应，所以这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵...),()(fQf=AXX=ni1jinjijxxa1)(jiijaa.定义2.1.4设K是一个数域，nKaij,个文字nxxx，，，21的二次齐次多项式nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222),,,(nnxxaxxaxa22322322222222nnnxa=jinjijnixxa11),,2,1,,(njiaajiij.称为数域K上的n元二次型，简称二次型.当ija实数时，称f为实二次型.当ija复数时，称f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即),,,(21nxxxf=2222211nnxdxdxd.称f为标准型.总之，数域K上的二次型f就是V内一个二次型函数)(fQ在基12,,...,n下的解析表达式.即V内取定一组基之后，就使V内全体二次型函数)(fQ所成集合和数域K上n元二次型f所成的集合之间建立起一一对应关系.由于数域K上二次型f与二次型函数)(fQ一一对应，因此关于对称双线性函数所得到的结果可以直接用到二次型f上来.A的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数，而A的第i行第j列元素ija)(ji是交叉项jixx的系数的一半，再取ija=jia)(ji即得到对称矩阵A.于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为),,,(21nxxxf=AXX.例1写出二次型222123123121323(,,)242684fxxxxxxxxxxxx所对应的矩阵？解234342422A定义2.3.1对称矩阵A分别施行以下三种变换，统称为矩阵的初等保号变换：(i)交换A的某两行（列）；(ii)用一个正数0k乘A的某一行（列）；(iii)用一个正数0k乘A的某一行（列）加到另一行（列）；易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性.引理1非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定...证明设),,,(21nxxxg=AXX是负定二次型，并且CYX(0C)是非退化线性替换.),,,(21nxxxg=AXX，BYYyyyfn),,(21)(ACCB，并且对任意nnRkkk021，nnkkkCccc2121，结果0),,,(),,(2121nncccgkkkf，即),,(21nyyyf是负定二次型.反之设),,(21nyyyf是负定：AXXxxxgXCYBYYyyyfnn),,(),,,(21121其中011CC于是得到),,,(21nxxxgXAX是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性.同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。例2判断正定二次型22121122(,)2fxxxxxx、在非退化线性替换能否改变二次型的正定性？解：22212112212(,)2fxxxxxxxx故作非退化线性替换11222yxxyx，便得222112212xxxxy因此上面例子可以看出二次型在非退化线性替换下还是正定二次型.从此推出：实二次型),,,(21nxxxf的“负定性，正定性，半负定性，半正定性以及不定性”是非退化线性变换下的一个不变性质.3二次型化为标准型的方法3.1正交变换法根据二次型的性质，则必可以通过一个适当变换将二次型化为只含有平方项的形式定理1任意一个实二次型ninjjiijxxa11，jiijaa都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211nnyyy其中平方上的系数n,,,21就是矩阵A的本征多项式的全部的根。下面讨论通过正交变换法化二次型为标准型的步骤。○1将实二次型表示成矩阵形式AXXfT并写出矩阵A。..○2求出矩阵A的所有本征值n,,,21，可能会出现多重本征值，分别记它们的重数为nkkkkkknn2121,,,○3对于每个本征值所对应的本征向量n,,,21，通过方程01XAE，能求出和1对应的1k个线性无关的本征向量。同理，对其他的本征值n,,2也是采用此方法求出与之对应的本征向量。因为nkkkn21，所以一共能出n个本征向量。○4将所求出的n个本征向量n,,,21先后施行正交化，单位化得到n,,,21，记为TnC,,,21○5作正交变换CYX,则得二次型f的标准形2222211nnyyyf例1用上面所述的方法化下面的二次型32212322213214432,,xxxxxxxxxxf为标准形。解：（1）首先写出原二次型的矩阵32-02-22-02-1AA的特征多项式15-2-3-2022-2021AE从而得A的特征值为21,52,13（2）求特征向量，将21带入0XAE中，得到方程02022023323121xxxxxx解此方程可得出基础解系T2,1,2-1，同样地，分别把52，13带入0XAE中，解方程能够得出与52，13对应的基础解系依次为T2