高等数学教程-课后答案(上海大学理学院数学系-著)-上海大学出版社

习题答案习题1-1(A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞∪∪−∞(2)]1,0()0,1[∪−(3)),1()1,1()1,(+∞∪−∪−−∞(4)πkx≠且),2,1,0(2⋯±±=+≠kkxππ(5)),2,1,0()352,32(⋯±±=++kkkππππ(6)]3,1[−2.202)(6,916,6hx+++3.0,22,22,215.(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)偶函数(4)奇函数(5)奇函数(6)当)(xf为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(xf为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数.(7)偶函数(8)奇函数6.(1)是周期函数，π2=T(2)是周期函数，4=T(3)是周期函数，4=T(4)不是周期函数7.(1)acxbdxy−+−=(2)2arcsin31xy=(3)21−=−xey(4)xxy−=1log2(5)2xxeey−−=8.(1)2,xauuy−==(2)2,xueyu==(3)cos,lg==uuy(4)xvtgvuuy6,,2===(5)21,,cos,xwevvuarctguyw−====(6)22,ln,ln,xwwvvuuy====9.(1)]1,1[−(2)∪zkkk∈+])12(,2[ππ(3)]1,[aa−−(4)若210≤a,则]1,[aaD−=；若21a，则=DФ.10.4)]([xx=ϕϕ，xx22)]([=ψψ，xx22)]([=ψϕ，22)]([xx=ϕψ.11.1,4−==ba12.⎪⎩⎪⎨⎧−==0,10,00,1)]([xxxxgf，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−1,1,11,)]([1xexxexfg13.)20(,])2([22rhhrhV−=π14.πααπααππ20,4)2(242223−−=rV15.),2(,])[(32232+∞−−=rrrhhrVπ16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅−−≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90xxxxp(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥−≤≤=−=1600,151600100,01.0311000,30)60(2xxxxxxxxpp(3)21000=p(元)习题1-1(B)1.)(xf为偶函数.2.41)1(,2)(222−+=−−=xxxxfxxf3.⎩⎨⎧≥=0,0,0)]([2xxxxgf，⎩⎨⎧≥=0,0,0)]([2xxxxfg4.22123xx++8.⎩⎨⎧−≤−−−=−1,101,1)(xxexfx9.]0,(,)1ln()(−∞−=xxg10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数.12.1)2005(=f习题1-2(A)1.(1)121+n,0(2)11)1(1+−+nn,0(3)2+nn,1(4)1)1()1(+−⋅+nn,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++nnnn⋯,21(6)2)2)(1()1(++−nn,没有极限.2.(1)17;(2)24;(3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3(A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim)(lim00==+−→→xfxfxx,1)(lim0=→xfx1)(lim0−=−→xxϕ,1)(lim0=+→xxϕ,)(lim0xxϕ→不存在.习题1-4(A)3.(1)0;(2)0;(3)04.0lim1=−→yx;∞=→yx1lim习题1-4(B)3.xxycos=在),(+∞−∞上无界，但当+∞→x时，此函数不是无穷大.5.当1,0==ba时，)(xf是无穷小量；当ba,0≠为任意实数时，)(xf是无穷大量.习题1-5(A)1.(1)0;(2)1;(3)1;(4)103;(5)231aa−;(6)23x;(7)34;(8)1−.2.(1)43−;(2)0;(3)∞;(4)41−;(5)503020532⋅;(6)41−.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧−=1,11,010,1aaa;(2)3;(3)34;(4)21−4.(1)10;(2)2)(mnmn−;(3)nm;(4)0;(5)0;(6)21;(7)43;(8)21.习题1-5(B)1.(1)2;(2)21−;(3)561−;(4)2)13(2−a(5)23;(6)⎪⎩⎪⎨⎧∞=2,2,12,0kkk;(7)2;(8)0.2.1,1−==βα3.9=a4.1,1−==ba5.不一定.习题1-61-61-61-6(A)(A)(A)(A)1.(1)2;(2)3;(3)21;(4)-1;(5)acos；(6)2π;(7)1;(8)2;(9)1;(10)x.2.(1)1−e;(2)2e;(3)2−e;(4)2−e;(5)1−e;(6)2e.习题1-61-61-61-6(B)(B)(B)(B)1.(1)21;(2)π2;(3)1;(4)0;(5)0;(6)1;(7)0;(8)1−e.2.(4)3;(5)251+.习题1-71-71-71-7(A)(A)(A)(A)1.当0→x时，34xx−比32xx+为高阶无穷小.2.(1)同阶，但不是等价；(2)同阶，且为等价.3.21=α4.m=α6.(1)23;(2)⎪⎩⎪⎨⎧∞=nmnmnm,,1,0;(3)21;(4)21;(5)ba;(6)41.习题1-71-71-71-7(B)(B)(B)(B)1.(1)32;(2)2e;(3)21;(4)0;(5)1;(6)41−;(7)∞;(8)1.5.xxxxp32)(23++=.6.aAln.习题1-81-81-81-8(A)(A)(A)(A)1.1=a2.)(xf在0=x处连续3.(1)1=x为可去间断点，补充2)1(−=f2=x为第二类间断点(2)0=x和2ππ+=kx为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππkff；)0(≠=kkxπ为第二类间断点.(3)1=x为第一类间断点(4)0=x为第二类间断点.4.(1)1=x为可去间断点，补充32)1(=f;(2)0=x为可去间断点，补充21)0(=f；(3)1=x为可去间断点，补充2)1(π−=f；0=x为第二类间断点；(4)2=x为可去间断点，补充41)2(=f；0=x为第一类间断点；2−=x为第二类间断点.(5)0=x为第一类间断点；(6)ax=为第一类间断点;(7)1=x为第一类间断点;(8)1−=x为第二类间断点.习题1-81-81-81-8(B)(B)(B)(B)1.1±=x为第一类间断点.2.1,0==ba3.25=a4.),2,1,0(22⋯±±=−=nnaππ5.0,=−=baπ6.(1)当1,0≠=ba时，有无穷间断点0=x；(2)当eba=≠,1时，有无穷间断点1=x.习题1-91-91-91-9(A)(A)(A)(A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞−−−∞21)(lim0=→xfx，58)(lim3−=−→xfx，∞=→)(lim2xfx.2.连续区间为：),0(),0,(+∞−∞.3.(1)-1;(2)1;(3)h;(4)-1;(5)22−;(6)-2;(7)1;(8)1;(9)ab;(10)5e;(11)-1;(12)2.4.1=a5.1=a习题1-91-91-91-9(B)(B)(B)(B)1.(1)0=x为第一类间断点；(2)1−=x为第一类间断点；(3)0=x为第一类间断点;(4)1±=x为第一类间断点;(5)无间断点.2.1,0==ba3.(1)1−e;(2)21−e;(3)aecot;(4)0;(5)0;(6)-2;(7)21;(8)82π.4.21总复习题一一.1.D2.D3.D4.B5.C6.D7.D8.C9.D10.D二.1.⎪⎩⎪⎨⎧≥−=−0,0,)(22xxxxxxf2.]2,2[,)1arcsin(2−−x3.－14.充分，必要5.充分，必要6.充分必要7.218.ba=9.5610.第二类，第一类三.1.11)(−+=xxxϕ2.20051,20052004=−=βα3.1lim=∞→nnx4.45.4e6.－507.aln218.当0≤α时，)(xf在0=x处不连续；当1,0−=βα时，)(xf在0=x处不连续；当1,0−≠βα时，)(xf在0=x处不连续.9.82−习题选解习题1-21-21-21-2(B)(B)(B)(B)1.根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim时=∞→aann证明：(ⅰ)0∀ε当1a时，令)0(1+=nnnhhannnnnnnnhhhnnnhha++−++=+=∴⋯22)1(1)1(εεannahn∴0∴取1][+=εaN，当Nn时，有ε=−nahann1，即1lim=∞→nna(ⅱ)当1=a时，显然成立.(ⅲ)当10a时，令11=ab∴11limlim==∞→∞→nnnnab∴1lim=∞→nna综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0a时，有1lim=∞→nna.习题1-6(B)2.利用极限存在准则证明：(2)21)2211(lim222=+++++++++∞→nnnnnnnnn⋯证明：设nnnnnnnnxn+++++++++=2222211⋯1)1(21)1(2122+++≤≤+++nnnnxnnnnnn∵21)1(21lim2=+++∞→nnnnnn∵，211)1(21lim2=+++∞→nnnnn∴由夹逼性定理知，21lim=∞→nnx即21)2211(lim222=+++++++++∞→nnnnnnnnn⋯.3.设0,00yx，nnnyxx=+1，21nnnyxy+=+.证明：nnnnyx∞→∞→=limlim证明：2nnnnyxyx+≤∵),2,1,0(011⋯=≤≤∴++nyxnnnnnnnnnnnnnnyyyyxyxxxyxx=+≤+==≥=∴++2211),2,1,0(⋯=n由此可知数列}{nx单调增加，数列}{ny单调减少，又011110yyyyxxxxnnnn≤≤≤≤≤≤≤≤≤++⋯⋯∴}{nx与}{ny都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则，∴}{nx，}{ny都收敛.设byaxnnnn==∞→∞→lim,lim由21nnnyxy+=+，2limlimnnnnnyxy+=∴∞→∞→babab=⇒+=∴2即nnnnyx∞→∞→=limlim.习题1-10(B)3.设函数)(xf在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==ff，试证：对)1,0(∈∀l，必存在一点]1,0[0lx−∈，使)()(00lxfxf+=.证明：令)1,0(,)()()(∈∀+−=llxfxfxF)(xf∵在]1,0[上连续，)(lxf+在]1,[ll−−上连续，)(xF∴在]1,0[l−上连续.又∵0)1()1()1()1(0)()()0()0(≥−=−−=−≤−=−=lfflflFlflffF)0)((≥xf∵0)1()0(≤−⋅∴lFF(ⅰ)若0)0(=F，取00=x，即)()0(lff=(ⅱ)若0)1(=−lF，取lx−=10，即)1()1(flf=−(ⅲ))01(,0)0(≠−≠lFF0)1()0(−⋅∴lFF由零点存在定理，必存在一点]1,0[0lx−∈，使0)(0=xF，即)()(00lxfxf+=.综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l，必存在一点]1,0[0lx−∈，使)()(00lxfxf+=.总复习题一三.11.设)(xf在],[ba上连续，且)(xf在],[ba上无零点.证明)(xf在],[ba上不变号.证明：(反证法)假设)(xf在],[ba变号，即],[,21baxx∈∃，使0)(,0)(21xfxf即0)()(21⋅xfxf∵)(xf在],[ba上连续，∴)(xf在],[21xx上连续.由零点存在定理知，),(),(21baxx⊂∈∃ξ，使0)(=ξf即ξ是)(xf在],[ba上的一个零点.这与)(xf在],[ba上无零点矛盾，)(xf∴在],[ba上不变号.1高数A（一）习题答案习题2-1(A)1.63.4.(1);)(0xf′(2);)(0xf′−(3);)0(f′(4).)(20xf′5.