提公因式法(复习课)

提公因式法(复习课)1.因式分解的概念因式分解是整式乘法运算的逆过程.例如(x+y)(x-y)=x2-y2是乘法运算,将它逆过来,x2-y2=(x+y)(x-y)就是因式分解.因式分解是一种恒等变形,把一个多项式化为几个因式的乘积形式,在变形前后,式子的值始终保持不变.2.公因式多项式ma+mb+mc各项都含有一个公式的因式m,因式m称为这个多项式各项的公因式.3.提公因式法将多项式中各项含有的公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫提公因式法.例1把8a3b2－12ab3c分解因式．分析：先应找出8a3b2与－12ab3c的公因式，再提公因式进行分解．公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．解：8a3b2－12ab3c＝4ab2·2a2－4ab2·3bc＝4ab2(2a2－3bc)．例2把3x2－6xy＋x分解因式．解：3x2－6xy＋x＝x·3x－x·6y＋x·1＝x(3x－6y＋1)．注意x(3x－6y＋1)＝3x2－6xy＋x，而x(3x－6y)＝3x2－6xy，所以原式分解因式为x(3－6y＋1)，而不是x(3x－6y)．这就是说，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉．例3把－4m3＋16m2－26m解因式．解：－4m3＋16m2－26m＝－(4m3－16m2＋26m)＝－2m(2m2－8m＋13)．注意如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出－号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出－号时，多项式的各项都要变号．例4把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．分析：应先找出2a(b＋c)与－3(b＋c)的公因式，再提公因式．这两个式子中都有(b＋c)，如果设b＋c＝m，问题就化为找出2am与－3m的公因式了．解：2a(b＋c)－3(b＋c)例5把6(x－2)＋x(2－x)分解因式．分析：应先找出6(x－2)与x(2－x)的公因式再提公因式．因为2－x＝－(x－2)，所以x－2就是公因式．解：6(x－2)＋x(2－x)＝6·(x－2)－x·(x－2)＝(x－2)(6－x)．例6把18b(a－b)2－12(a－b)3分解因式．解：18b(a－b)2－12(a－b)3＝6(a-－b)2·3b－6(a－b)2·2(a－b)＝6(a－b)2[3b－2(a－b)]＝6(a－b)2(3b－2a＋2b)＝6(a－b)2(5b－2a)．例7把5(x－y)3＋10(y－x)2分解因式．分析：要找出5(x－y)3与10(y－x)2的公因式．因为(y－x)2＝[－(x－y)]2＝(x－y)2，所以(x－y)2就是公因式．解：5(x－y)3＋10(y－x)2＝5(x－y)3＋10(x－y)2＝5(x－y)2·(x－y)＋5(x－y)2·2＝5(x－y)2[(x－y)＋2]＝5(x－y)2(x－y＋2)．例8下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是?(1)a(a+b-c)=a2+ab-ac(2)x2-2x+4=x2-2(x-2)(3)a(x2-9)=a(x+3)(x-3)(4)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(5)x2-2x+2y-y2=(x2-y2)-2(x-y)(6)9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)分析(1)是乘法计算;(2)、（4）、（5）的右边不是乘积形式；（6）的右边括号内漏掉了“1”这一项；只有（3）是把多项式ax2-9a化成了单项式a与二项式x+3与x-3的乘积形式，且二项式不可再分.解（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）不是；（5）不是；（6）不是.例9把an+1-an-1+an分解因式.分析相同字母最低次幂是an-1，从而公因式是an-1.解an+1-an-1+an=an-1(a2-1+a)例10把x(x-y)+y(y-x)分解因式解x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2[点评]相同的因式要写成幂的形式.例11把(a-b)2(x-2y)+(b-a)2(2x-y)分解因式.解原式=(a-b)2(x-2y)+(b-a)2(2x-y)=(a-b)2[(x-2y)+(2x-y)]=(a-b)2(3x-3y)=3(a-b)2(x-y)例12不解方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值分析先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3f进行因式分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入.解7y(x-3y)2-2(3y-x)3=7y(x-3y)2+2(x-3y)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(2x+y)当时，原式=12×6=6例13分解因式5a(x-y)2m+1+10a(y-x)2m分析公因式是一个较复杂的多项式5a(x-y)2m，这里要注意符号以及字母指数，(y-x)2m=(x-y)2m，∴原式=5a(x-y)2m(x-y+2).例14已知多项式ax2+bx+c可以分解为因式(x+1)、(x-4)之积，试求a、b、c的值.分析由题意易知：ax2+bx+c=(x+1)(x-4)=x2-3x-4，按照多项式恒等的概念，对照系数得a=1，b=-3，c=-4.例15证明：817-279-913能被45整除.分析欲证817-279-913能被45整除，只要证明817-279-913能分解出“45”这个因式即可.解∵817-279-913=328-327-326=326(32-3-1)=326×5=324×32×5=324×45∴817-279-913能被45整除.例16把分解因式。解：说明：①公因式要提尽，首先找各项系数的最大公约数，再找各项中的相同字母，并取最低次幂；②若首项系数是负的，一般要提出“-”号，在提“-”号时，要注意各项都要变号；（3）提公因式后，各项所余的是这项除以公因式得到的商式，当某一项与公因式完全相同时，如-6ab项，提出-6ab后，这项位置剩“1”。例17把a（a-b）+b（b-a）分解因式。解：a（a-b）+b（b-a）=a（a-b）-b（a-b）=（a-b）（a-b）说明：①（a-b）与（b-a）这两个因式，可用提“-”号的方法化为相同因式，因此可作为公因式提出；②最后结果中有相同因式相乘，要写成幂的形式。例18把分解因式。解：说明：①原多项式可分为两大项，其中分别含有相反的多项式因式（m-n）与（n-m），需先通过提“-”号的方法化为相同因式；②确定公因式时，要按照系数——相同的字母——相同的多项式因式的顺序逐一考虑，以免漏掉；③提出公因式后，另一个因式是各项剩余因式的代数和，这个因式要化简整理。例19把分解因式。解：说明：因式分解的最后结果应是每个因式都不能再分解，所以因式（3x-3y）还应再提出3。例20利用因式分解计算x（x+y-z）-y（z-x-y）-z（x-z+y）的值，其中x=5.3，y=-6.7，z=1.6。解：x（x+y-z）-y（z-x-y）-z（x-z+y）=x（x+y-z）+y（x+y-z）-z（x+y-z）=（x+y-z）（x+y-z）把x=5.3，y=-6.7，z=1.6代入原式说明：①利用因式分解将多项式变形后再求值，可使计算过程简化；②三个因式（x+y-z），（z-x-y），（x-z+y）所含三项只是符号不同，可以采用提“-”号的方法化为相同因式。这说明仔细观察题目特点，才能选择恰当方法变形。