二次根式复习及勾股定理提高题

第1页共8页二次根式知识与题型梳理1.二次根式的概念:式子叫做二次根式.例1.下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_________（填序号）．2.二次根式a有意义的条件式,无意义的条件式例2.x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)x63;(2)23xx;(3)31x(4)32xx;(5)32xx;(6)xx22;3.二次根式的性质:(1)2)(a(a);(2)2a例3．（1）2)3(;2(32)______（2）若1x2,则22)2()1(xx;（3）aa2)2(2,则a的取值范围是（4）若230ab，则2ab．（5）已知0|1|2ba，那么2012ba的值为；（6）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222()abab4.最简二次根式:最简二次根式应满足的条件是被开方数中不含开得尽的、被开方数中不含、分母不含例4．1.在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)2.化简下列二次根式：)0,0(1852baba=；)0(1253yyx=)51(110252xxx=；将aa1根号外的a移到根号内，得5.同类二次根式:二次根式化成后，如果则这几个根式叫叫同类二次根式.第2页共8页例5．1.下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．2112与B．2718与C．313与D．5445与2.若62312与nnm是同类最简二次根式，则m=,n=6.分母有理化：(1).把分母中的化去的过程称为分母有理化.(2).两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果就称它们是互为有理化因式.例6．1.写出下列二次根式的一个有理化因式ba；ba；ba32；2.nm的倒数是；nbma的倒数是3.23211）（；23252）（；（3）2317.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成再．（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数，所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为．a·b=（a≥0，b≥0）；ab（b≥0，a0）．例7．计算（1）80-（135+4455）（2）945÷315×32223（3）2011015152033）（）（（4）32nnmm·（-331nmm）÷32nm（m0，n0）（5）)23(18（6）)23)(23()13(2例8．先化简，再求值：（1）求22242baba的值，其中231,231ba第3页共8页（2）先化简，再求值：)12(1)1(22xxxxx其中x＝211例9．（1）解不等式33xx2（2）解不等式)3(3)2(2xx例11．已知m,m为实数，满足349922nnnm，求6m-3n的值。1．①2)3.0(；②2)52(。2．二次根式31x有意义的条件是。3．若m0，则332||mmm=。4．1112xxx成立的条件是。5．比较大小：3213。6.观察下列各式：1+13=213,2+14=314,3+15=415,……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是。12.已知0)1(322yx，则4x-y=。13.下列二次根式中，最简二次根式是（）A.x18B.ba25C.22baD.2a14.下列式子一定是二次根式的是（）A．2xB．xC．22xD．22x15.若bb3)3(2，则（）A．b3B．b3C．b≥3D．b≤317.下列说法正确的是（）A．若aa2，则a0B．0,2aaa则若C．4284babaD．5的平方根是5第4页共8页勾股定理3.已知一个三角形的三边长分别是1cm，1cm和2cm则这个三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形10.如图2，以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，其面积分别是321,,SSS,若9,421SS，则3S。图2S3S2S1CBA图4第5页共8页13.在△ABC中，∠C=90°，AC=21cm，BC=28cm.（1）求△ABC的面积；（2）求高CD。15.如图4，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积.【考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有222cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n2，2n（n1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222abcB.222acbC.222cbaD.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242cmB、362cmC、482cmD、602cm（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15考点二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n为正整数）（3）直角三角形的判定方法：①如果三角形的三边长a,b,c有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。②有一个角是直角的三角形是直角三角形。③两内角互余的三角形是直角三角形。第6页共8页④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）若三角形的三边之比为21::122，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形（3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（5）若△ABC的三边长a,b,c满足222abc20012a16b20c，试判断△ABC的形状。（6）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。例3：求最大、最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。考点三：勾股定理的应用例1：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？CADB第7页共8页例3：最短路程问题（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是。（结果保留根式）（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。ABCDBA（图1）（图2）例4：航海问题（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．（2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。东北3060BACMDDBCA（图1）（图2）（3）如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例5：网格问题（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．3（2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()A．25B.12.5C.9D.8.5BCAABCDCBA（图1）（图2）（图3）第8页共8页例6：图形问题（1）如图1，求该四边形的面积（2）如图2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为．431213BCDA（图1）（图2）平分线，CD＝5㎝，求AB的长．