七年级下册第二章-相交线与平行线讲义

1七年级下册第二章相交线与平行线知识点一：对顶角与邻补角一、对顶角1、定义：2、性质：二、邻补角1、定义：2、性质：特别说明：在图形中若出来了上述的两种现象，可以直接当条件来用．典例1：（1）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠2：∠3=6:1:2，求∠DOE的度数．（2）如图，∠2+∠3=153o，且∠3=2∠2，求∠1和∠4的度数．变式训练：1、按下面的方法折纸，然后回答问题：（1）∠2=o.（2）∠1与∠3有何关系?．（3）∠1与∠AEC有何关系?，∠3与∠BEF分别有何关系?．2、已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG是∠AOC的平分线，若∠EOB=2∠COE，∠GOE=70o，求∠DOF的度数．2知识点二：垂线及其性质应用1、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2、两条直线垂直是位置关系，两条直线的夹角为90o，是数量关系，它们之间可以互相转化；3、垂线段最短．典例2：1、已知直线AB⊥CD，垂足为O，OE在∠BOD内部，∠COE＝125°，OF⊥OE于点O，求∠AOF的度数.2、下列说法正确的个数是（）①连接两点的线中，垂线段最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线．A．2B．3C．4D．5变式训练：1、如图所示，已知直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于点O，且∠1比∠2大20o，则∠AOC=______.第1题图第2题图第3题图2、如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°3、如图，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补4、下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（）A．B．C．D．35、如图：AB，CD，EF相交于O点，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=30o，求∠BOE及∠AOG的度数．4、如图所示,直线AB、CD、EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70o，求∠DOG的度数．知识点三：三线八角八个角依照其相对位置有不同的名称(如右图)三线八角同位角:∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8相对位置相同，称为同位角．同位角的形状似字母F．内错角:∠2和∠8、∠3和∠5相互交错，且均在内部，称为内错角．内错角的形状似字母Z．同旁内角:∠2和∠5、∠3和∠8在截线同旁，且均在内部，称为同旁内角．同旁内角的形状似字母U或门框形．典例3：看图填空：（1）如图①，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（2）如图②，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（3）如图③，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（4）如图④，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．4变式训练：1、如图，∠1与∠4是______角，∠1与∠3是______角，∠3与∠5是______角，∠3与∠4是______角．第1题图第2题图2、如图,按各组角的位置判断错误的是（）A.∠1与∠A是同旁内角B.∠3与∠4是内错角C.∠5与∠6是同旁内角D.∠2与∠5是同位角知识点四：平行线的性质与判定1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a//b2、平行公理：经过直线外一点，有且只有．3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．即“”．4、两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：（1）；（2）．5、两条直线的判定方法（1）定义法：（2）平行公理的推论：（3）同位角，两直线；（4）内错角，两直线；（5）同旁内角，两直线；6、平行线的性质：（1）两直线，同位角，；（2）两直线，内错角；（3）两直线，同旁内角；典例4：1、如图，下列条件中，能判断直线a∥b的是（）A．∠3=∠2B．∠1=∠3C．∠4+∠5=180°D．∠2=∠42、下列各图中，已知∠1=∠2．则能判断AB∥CD的是（）A．B．C．D．变式训练：1、如图所示，下列推理中正确的数目有（）①因为∠1=∠4，所以BC∥AD．②因为∠2=∠3，所以AB∥CD．5③因为∠BCD+∠ADC=180°，所以AD∥BC．④因为∠1+∠2+∠C=180°，所以BC∥AD．A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为度（用关于α的代数式表示）．第2题图第3题图第4题图3、如图所示，AD∥BC，点O在AD上，BO，CO分别平分∠ABC，∠DCB，若∠A+∠D=m°，则∠BOC=．4、如图所示，已知a∥b，∠1=72°，∠2=40°，则∠3=．5、如图，DH∥EG∥BC，且EF∥DC，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数（）A．2B．4C．5D．6第5题图第6题图第7题图第8题图6、如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为()A．26°B．36°C．46°D．56°7、如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于______．8、如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F=．9、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°第10题图10、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是度．11、如图所示，已知∠ADE=∠B，∠1=∠2，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．证明：因为∠ADE=∠B()，所以DE∥BC()．所以∠1=∠3()．因为∠1=∠2(已知)，6所以∠2=∠3()．所以___∥___()．因为GF⊥AB(已知)，所以CD⊥AB()．12、如图，已知AB∥CD∥EF，且∠A=50°，∠F=120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度数．解：∵AB∥CD（）∴∠A=∠ADC（）又∵∠A=50°∴∠______=50°∵CD∥EF∴∠F+∠______=180°()又∵∠F=120°∴∠CDF=______∴∠ADF=______∵DG平分∠ADF∴∠ADG=12∠______=______°，∴∠CDG=∠ADG−∠______=______°13、完成下面的证明．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：∠AED=∠C．证明：∵∠1+∠4=180°（），∠1+∠2=180°（）∴∠=∠（）∴EF∥AB（）∴∠3=∠ADE（）又∵∠B=∠3（已知）∴∠ADE=∠B（）∴∥（）∴∠AED=∠C（）14、如图，已知∠ADE=∠B，∠EDC=∠FGB，GF⊥AB．试说明CD⊥AB．解：∵∠ADE=∠B（已知）∴DE∥BC∴∠EDC=∠DCB∵∠EDC=∠FGB（已知）7∴∠DCB=∠FGB（）∴∥（）∴∠CDB=∠GFB（）∵GF⊥AB()∴∠=90°（）∴∠CDB=90°∴CD⊥AB．15、如图，已知AD⊥BC，EG⊥BC，D、G分别是垂足，∠GEC=∠3．求证：AD平分∠BAC．16、如图，GC交AB于点M，GH分别交AB、EF于点N、H两点，HD平分∠GHF，∠1+∠C=180°，∠2=∠3=60°，求证：CD∥EF．17、如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥8EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．知识点五：光的反射与平行线典例、如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′典例图第1题图第2题图变式训练：1、如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到口上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ等于度．2、实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=，∠3=．（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=．9（3）由（1）、（2），试猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=时，可以使任何射到平面镜a上的光线m（m一定能够被反射到平面镜b上）经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请用本学期学过的数学知识证明你的结论的正确性．知识点六：拐点问题1、如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b分别交于C、D两点，点A、B分别是直线a、b上的点，点M是直线CD上的一点，连接AM，BM，（1）若点M在C、D之间，且∠1=25°，∠3=35°，求∠2的度数；（2）如果点M在直线CD上运动，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的数量关系？请写出来，不必说明理由．变式训练：1、如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．2、如图，已知AB∥CD，请完成下列填空：①在图（1）中，∠1+∠2=；②在图（2）中，∠1+∠2+∠3=；③在图（3）中，∠1+∠2+∠3+∠4=；④在图（4）中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5有什么关系呢？也请直接写出来．103、已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线吆！）4、已知如图射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E（1）当P运动到线段AC上时，∠APC=180°（图1），此时∠AEC为多少度？（不要求证明）（2）当P运动到如图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC的关系，并说明理由？（3）当P运动到如图3的位置时，上述结论还成立吗？（不要求说明理由）