大学物理静电场习题课

一、一个实验定律：库仑定律iqSdE01（所有电荷代数和）iq有源场L0ldE（与等价）BABAldEVV（保守场）12212021124erqqF二、两个物理概念：场强、电势；三、两个基本定理：高斯定理、环流定理1.点电荷的电场的计算四、电场强度的计算02041rrqE2.点电荷系的电场的计算设真空中有n个点电荷q1,q2,…qn，则P点场强02041iiiiiirrqEE典型例子：电偶极子3041rpEB中垂线上30241rpEA延长线上3.连续带电体的电场的计算（积分法）0204rrdqEd02041rrdqEdEzzyyxxdEEdEEdEE;;kEjEiEEzyx电荷元表达式体电荷dVdq面电荷dSdq线电荷ldqd思路（1）一均匀带电直线在任一点的电场)sin(sin1204aEx特例：无限长均匀带电直线的场强aE02有用的结论：（2）一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场i)ax(xqE232204（3）无限大均匀带电平面的场强02E)cos(cos2104aEy五、高斯定理可能应用的情况：1、球面对称：20r4qE2、圆柱面对称0r2E)0(204rqESi内3、平面对称：02E)0(3041rpEB02041rrqEaE0202E1.偶极子2.点电荷3.线电荷4.面电荷31rE11rE21rE01rE已学过的几种电场场强的计算叠加法高斯定理法梯度法iEEdiSqSdE01UE六、电势1.定义:AAAldEqWU02.静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系：)()(ababbabaabWWqUUUqldEqW3.电势叠加原理rqUP04(1)点电荷的电势分布:(2)点电荷系的电势分布:(3)连续带电体的电势分布:iiiirqUU04VVrdqdUU041七、求解和U的方法比较：E求E1、根据对称性应用高斯定理连续分布：gradUE求U带电体ｄrqU040024rrdqE带电体先求再求U。EAAldEUkzUjyUixUgradU2、应用矢量叠加原理不连续分布：02041iiiirrqEiiiPrqu04先求U,再求。E3、应用标量叠加原理4.电荷为-5×10-9C的试验电荷放在电场中某点时，受到20×10-9N的向下的力，则该点的电场强度大小为_______________，方向____________．3.静电场中某点的电场强度，其大小和方向与___________________________________相同．（静电场一）单位正试验电荷置于该点时所受到的电场力4N/C向上5.如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度．总场强为：20π4ddxdLqE20π4dxdLLxqLLqE020)(d4xdLx－dLqd04ＰLddqx(L+d－x)dExO解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为=q/L，在x处取一电荷元dq=dx=qdx/L，它在P点的场强：方向沿x轴，即杆的延长线方向．例3：有一半径为r绝缘细环如图，上半段均匀带+q,下半段均匀带-q,求：细环中心处的电场强度和电势。+++++-----Ox+++++----OxdE+dy思路：1、上半段电荷在O点的E+y：20r4rddEcosr4rddE20ydE+dE-r4r4dcosrE02020y+++++----OxdE+dyO点：r2E2E0y方向：y轴反向。将代入r2q41202rqE由对称性知Ex=0+++++-----Ox2、O点处电势上半段rdqU04rq04根据电势叠加原理:下半段rdqU04rq040UUUO讨论若电荷非均匀分布，则O点的电势为多少？1.有两个电荷都是＋q的点电荷，相距为2a．今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面．在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示．设通过S1和S2的电场强度通量分别为F1和F2，通过整个球面的电场强度通量为FS，则(A)F1＞F2，FS＝q/0．(B)F1＜F2，FS＝2q/0．(C)F1＝F2，FS＝q/0．（D)F1＜F2，FS＝q/0（静电场二）S1S2Oqq2ax2.图示为一具有球对称性分布的静电场的E～r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．(A)半径为R的均匀带电球面．(B)半径为R的均匀带电球体．(C)半径为R的、电荷体密度为＝Ar(A为常数)的非均匀带电球体．(D)半径为R的、电荷体密度为＝A/r(A为常数)的非均匀带电球体．(．ORrEE∝1/r23.图示两块“无限大”均匀带电平行平板，电荷面密度分别为＋和－，两板间是真空．在两板间取一立方体形的高斯面，设每一面面积都是S，立方体形的两个面M、N与平板平行．则通过M面的电场强度通量F1＝____________，通过N面的电场强度通量F2＝________________．－(S)/0(S)/0MN-+SeSdE对于闭合曲面，取外法向为正n4.半径为R的半球面置于场强为的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示．则通过该半球面的电场强度通量为__________________．RER2EER2ER2作业中出现的答案：例5.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为=Ar(r≤R)，=0(r＞R)，A为一常量．试求：球体内外的场强分布．解：在球内取半径为r(r≤R)、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为rrArVqd4dd2在半径为r的球面内包含电荷为402d4ArrrArdVqrV以该球面为高斯面，按高斯定理有0421/4rArEF(本题选自静电场练习二)qr高斯面Rd易错点：334.1rArVq、dVq、22043rdqdE、搞清各种方法的基本解题步骤drrArdVq244、6.有一带电球壳，内、外半径分别为a和b，电荷体密度=A/r，在球心处有一点电荷Q，证明当A=Q/(2a2)时，球壳区域内的场强的大小与r无关．abQ证：用高斯定理求球壳内场强：02/d4dVVQrESESrravrrArrrAV02d4d4d其中：222arA2220202414arArrQE202020224rAaArQ要使E的大小与r无关，则应有02420220rAarQ22aQA即：易错点：seEdV、1ErdSEdSEs242、drrrAqba243、rrdrAqr440、a静电场练习三2.如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为：(A)E=0，(B)E=0，(C)，(D)，rQU04RQU04204rQErQU0π4204rQERQU04ORrPQ3.把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1＜R＜r2)的球面上任一点的场强大小E由______________变为______________；电势U由_____________________变为________________(选无穷远处为电势零点)r1r2RQ/(40R2)0Q/(40R)Q/(40r2)提示：根据高斯定理求场强根据定义法求电势4.一半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为．设无穷远处为电势零点，则圆环中心O点的电势U＝______________________/(20)标量叠加Rq2思路:RqRdqdUU004402U5.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为．设无穷远处为电势零点．计算圆盘中心O点电势．OdrR解：在圆盘上取一半径为r→r＋dr范围的同心圆环．dS=2rdr其上电荷为：dq=2rdr其面积为：它在O点产生的电势为：002d4ddrrqU总电势：0002d2dRrUURS6.电荷以相同的面密度分布在半径为r1＝10cm和r2＝20cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300V．(1)求电荷面密度．(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？［0＝8.85×10-12C2/(N·m2)］解：(1)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即22110041rqrqU22212104441rrrr210rr2100rrU＝8.85×10-9C/m2(2)设外球面上放电后电荷面密度为，则应有：21001rrU=0即：21rr外球面上应变成带负电，共应放掉电荷:212222144rrrrq20021244rUrrr＝6.67×10-9C例6：点电荷q=10-9C，与它在同一直线上的A、B、C三点分别相距为10、20、30cm，若选B为电势零点。CBAq解：选B为电势零点：BArrBAAdrrqldEU204)(45)11(40VrrqBA)(15)11(40VrrqUBCC求：A、C两点的电势。或者分别算出A、B、C三点的电势，然后相减即可。①求单位正电荷沿odc移至c，电场力所作的功②将单位负电荷由O电场力所作的功)434(000RqRquuAcoocRq060oOuuA例7.如图已知+q、-q、RqqRRR0dabc例8在真空中,有一电荷为Q,半径为R的均匀带电球壳,其电荷是面分布的.试求(1)球壳外两点间的电势差;(2)球壳内两点间的电势差;(3)球壳外任意点的电势;(4)球壳内任意点的电势.OerRABdrrArrBr(a)ORrBAdr(b)解(1)均匀带电球壳外一点的场强为)1(4120rerQE若在如图(a)所示的径向取A,B两点,它们与球心的距离分别为rA和rB,那么,可得A,B两点之间的电势差为：BABArrrrbadrErdEUU把(1)式代入上式,得)2()11(44020BArrbarrQrdrQUUBA上式表明,均匀带电球壳外两点的电势差,与球上电荷全部集中于球心时,两点的电势差是一样的.OerRABdrrArrBr(a)(2)球壳内两点间的电势差;ORrBAdr(b)均匀带电球壳内部任意两点的电场强度为:E=0球壳内部任意两点的电势差为:0BArrbadrEUU这表明,带电球壳内各点的电势均为一等势体.(3)球壳外任意点的电势;若取rB=+时,U=0)2()11(44020BArrbarrQrdrQUUBA由式(2)可得,均匀带电球壳外一点电势为)3()(4)(0RrrQrU上式表明,均匀带电球壳外一点的电势与球上电荷集中于球心一点的电势