数字电子技术基础

第二章逻辑代数基础§2.1数字电路的基础知识§2.2逻辑代数及其运算规则§2.3逻辑函数表示方法§2.4逻辑函数的化简在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。§2.1概述一、与逻辑（与运算）与逻辑：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Ｙ＝ＡＢＣ…例：开关A，B串联控制灯泡Y电路图L=ABEABYA、B都断开，灯不亮。EABYA断开、B接通，灯不亮。EABYA接通、B断开，灯不亮。§2.2逻辑代数中的三种基本运算EABYA、B都接通，灯亮。开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭灭灭亮功能表将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：ABY000110110001真值表Ｙ＝Ａ•Ｂ两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：YAB&Ｙ＝Ａ•Ｂ二、或逻辑（或运算）电路图L=ABEABY或逻辑：当决定事件（Y）发生的各种条件A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭亮亮亮ABY000110110111功能表真值表Ｙ＝Ａ+ＢAB≥1实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+B三、非逻辑（非运算）非逻辑：指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：Y＝A′电路图EAYR功能表开关A灯Y断开闭合亮灭真值表AY0110实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：YA1Y＝A′常用的逻辑运算1、与非运算：逻辑表达式为：ABY000110111110真值表)(BAYYAB与非门的逻辑符号L=A+B&2、或非运算：逻辑表达式为：)(BAYABY000110111000真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B≥13、异或运算：逻辑表达式为：BABABAYABY000110110110真值表YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1异或逻辑的运算规则：0⊕0=00⊕1=11⊕0=101⊕1=A⊕0=A⊕1=A⊕A′=A⊕A=AA′104、同或运算：逻辑表达式为：ABY000110111001真值表ABBAY＝A⊙BYAB同或门的逻辑符号L=A+B=异或和同或互为反运算同或逻辑的运算规则：0⊙0=10⊙1=01⊙0=011⊙1=A⊙0=A⊙1=A⊙A′=A⊙A=AA′105、与或非运算：逻辑表达式为：)(DCBAYY≥1&ABCD与或非门的逻辑符号§2.3逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式与运算：111001010000或运算：111101110000非运算：1001请特别注意与普通代数不同之处1.常量之间的关系2.基本公式0-1律：AAAA100011AA互补律：01AAAA重叠律：AAAAAA还原律（双重否定律）：AA)(分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。亦称非非律3.基本定理交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定律）：BABABABA)()(利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明A·B=B·A：ABABBA0001101100010001求证:（17式）A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A•1+BC=A+BC=左边课本上用真值表证明二、常用公式1.A+AB=2.A+A′B=A′+AB=A(A′+B)=A′(A+B)=注:红色变量被吸收掉！统称吸收律注:红色变量被吸收掉！统称吸收律AA+BA′+BABA′B证明:A+A′B=(A+A′)•(A+B);分配律=1•(A+B)=A+BA+BC=(A+B)(A+C)3.AB+AB′=4.A(A+B)=证明:A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A(1+B)=A(A+B)(A+B′)=注:红色变量被吸收掉！也称吸收律AAA5.AB+A′C+BC=证明:AB+A′C+BC=AB+A′C+(A+A′)BC=AB+A′C+ABC+A′BC=AB(1+C)+A′C(1+B)=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CAB+A′C冗余定律或多余项定理或包含律(A+B)(A′+C)(B+C)=(A+B)(A′+C)(A+B)(A′+C)(B+C+D)=(A+B)(A′+C)冗余定律或多余项定理的其他形式同理：此多余项可以扩展成其他形式6.A·(A·B)′=A′·(A·B)′=证明:A·(A·B)′=A·(A′+B′)=A·A′+A·B′=A·B′A′·(A·B)′=A′·(A′+B′)=A′·A′+A′·B′=A′·(1+B′)=A′A·B′A′一、代入定理任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。例如，已知等式，用函数Y=BC代替等式中的B，根据代入定理，等式仍然成立，即有：BABA)(CBACBACBA)())((§2.4逻辑代数的基本定理二、反演定理对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y′（或称补函数）。这个规则称为反演定理。CDCBAY)())((DCCBAYCDCBAY))((CDCBAY)))(((应用反演定理应注意两点：1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是AB之间先运算。2、不属于单个变量上的反号应保留不变。三、对偶定理对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式YD,YD称为Y的对偶式。对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。)(CBAYCBAYD)(CDABY))()((DCBAYDACABCBA)())((CABABCAAA1（2）式AA0（12）式§2.5逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,…)二、逻辑函数表示方法常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可以相互转换。例：一举重裁判电路设A、B、C为1表示开关闭合，0表示开关断开；Y为1表示灯亮，为0表示灯暗。得到函数表示形式：真值表函数式)(CBAABCCABCBAY逻辑图波形图ABCYtttt)(CBAY真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。0110AY一输入变量，二种组合ABY001011101110二输入变量，四种组合ABCY00000010010001101000101111011111三输入变量，八种组合ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四输入变量，16种组合n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。逻辑函数式把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。比如：ABCCBACBACBACBAF逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。)(CBAY各种表示方法之间的相互转换1、真值表→逻辑函数式方法:将真值表中为1的项相加,写成“与或式”。CABCBABCAYABCY00000010010001111000101111011110例2.5.12、逻辑式→真值表方法:将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。例2.5.2CBACBAYABCY000001010011100101110111011111103、逻辑式→逻辑图方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图.例2.5.3CCBACBAY)(4、逻辑图→逻辑式方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.AB)(BA)(BABABABABABABAY))(())()((5、波形图→真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111ABCY00000101001110010111011101100101最小项:在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8(23)个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、、、、、、、ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、、、、、、4个变量可组成16(24)个最小项,记作m0～m15。三、逻辑函数的两种标准形式若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例：和，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。ABC0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7编号对应十进制数最小项使最小项为1的变量取值CBACBACBABCACBACBACABABCCBACABCBAACBCABCBA)(3变量全部最小项的真值表ABCm0m1m2m3m4m5m6m70000010100111001011101111000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001最小项的性质:①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。②任意两个不同的最小项的乘积必为0。③全部最小项的和必为1。CBACBA④具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。例如:将它们合并，可消去因子:=BCABC和A′BC具有逻辑相邻性。ABC+A′BC=(A+A′)BC任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。逻辑函数的最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A′＝1和A(B+C)＝AB＋AC来配项展开成最小项表达式。)15,14,11,10,9,7,3()()()()(1