数学实验-炮弹发射角度问题

解：（一）模型假设：炮弹在做斜上抛运动过程中忽略空气阻力。即只受重力的作用。模型构成：炮弹的运动为斜上抛运动，将该运动分解成水平方向上的匀速直线运动，垂直方向上的匀减速运动。数学模型：设炮弹到达目标的时间为t，初速度0v=200与水平方向的夹角为θ,水平方向的位移为S1=360，垂直方向的位移S2=160.求θ。模型求解在水平方向上：01cos()vs在竖直方向上：dsvdtdvgdt即dsvdtdvgdt①对①两边积分200sin()0ostvtvdsvdtdvgdt即：202sin()2gtvts②由①②得：0202cos()1sin()2vtsgtvtsg=10m/2s,0v=200m/s.s1=360,2s=160上面两个方程联立整理216.2360tan()1600cos()通过matlab编程利用图形放大法找出解的位置。程序如下：第一次作图；x=0:0.1:2*piy=360.*tan(x)-16.2./(cos(x)).^2-160plot(x,y)gridon第二次作图：x1=0:0.01:2;x2=0:0.01:1.5;x3=0:0.01:1;x4=0:0.01:0.6;y1=360.*tan(x1)-16.2./(cos(x1)).^2-160y2=360.*tan(x2)-16.2./(cos(x2)).^2-160y3=360.*tan(x3)-16.2./(cos(x3)).^2-160y4=360.*tan(x4)-16.2./(cos(x4)).^2-160subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('子图(1)'),gridon,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('子图(2)'),gridon,subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('子图(3)'),gridon,subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('子图(4)'),gridon,由上图可知方程的解在（0.4，0.5）之间。用mathmatic求解：程序如下：FindRoot[360*Tan[x]-16.2/(Cos[x])^2==160,{x,0.46}]运行结果为：{x-0.464229}即θ=0.464（rad）（二）解：模型假设：炮弹在运动过程中除受重力作用外还受空气阻力的作用。模型构成：将炮弹的运动分解成水平方向的减速运动，垂直方向的匀减速运动。设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s）。数学模型：炮弹的初速v0与水平方向的夹角为θ，炮弹到达目水平位移为S1=360,垂直位移为S2=160.水平方向的f阻力=-0.1v.水平方向的加速度为a(2/ms),炮弹的质量为m,求解θ。模型求解：在水平方向上：0.1cos()dvfvdt阻力两边化简得：0.1cos()dvdtv对两边求积分得：000.1cos()vtvdvdtv解得：0.1cos()0tvve且0200cosv即0.1cos()0.1cos()200cos()0ttvveedsvdt两边积分：000.1cos()200cos()()sttedsdt、解得：0.1cos()20002000tse当1ss时：即0.1cos()36020002000te①在竖直方向上由一知：202sin()1602gtvts②由①②得：22500ln0.82396.9tan()160cos()即219.69396.9tan()160cos()用Matlab画图：（1）x=0:0.1:2*piy=396.9.*tan(x)-19.69./(cos(x).*cos(x))-160plot(x,y)（2）x1=0:0.01:2x2=0:0.01:1.5x3=0:0.01:1x4=0:0.01:0.5y1=396.9.*tan(x1)-19.69./(cos(x1).*cos(x1))-160y2=396.9.*tan(x2)-19.69./(cos(x2).*cos(x2))-160y3=396.9.*tan(x3)-19.69./(cos(x3).*cos(x3))-160y4=396.9.*tan(x4)-19.69./(cos(x4).*cos(x4))-160subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('子图(1)'),gridon,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('子图(2)'),gridon,subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('子图(3)'),gridon,subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('子图(4)'),gridon,（3）x4=0:0.01:0.5y4=396.9.*tan(x4)-19.69./(cos(x4).*cos(x4))-160plot(x4,y4)gridon由图观察可知（0.4，0.45）之间。FindRoot[396.9*Tan[x]-19.69/(Cos[x])^2==160,{x,0.446}]{x-0.43393}=0.4339(rad)