变量代换方法在求解微分方程中的应用

变量代换方法在求解微分方程中的应用1引言在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。然而，值得注意的是，不同的类型的方程,其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。2变量代换方法在几类微分方程求解中的应用定义1如果一阶微分方程具有形式)()(ygxfdxdy，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(yg，则可将方程化为dxxfygdy)()(.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y的函数与dy，另一端只含有x的函数与dx.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。例1求微分方程xyy2的通解.解因为xydxdy2，分离变量，xdxdxdy2，两端积分，Cxy2||ln，12||cxey，所以12cxey.令1CeC，于是2xCey为所求.注：以后为了方便，可将||lny就写成yln，注意结果中C可正可负.对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。下面介绍几类这样的方程。2.1一阶齐次方程1.形如)(byaxfdxdy的齐次方程（其中ba,0b)为常数）作变量代换，byaxu可将方程化为分离变量方程，将byaxu和dxdybadxdu代入方程，整理后可得：)(ubfadxdu2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用2例2解方程032412dyxydxxy解将方程整理后可得3)2(21)2(xyxydxdy故令xyu2，带入后可得3254uudxdu分离变量后，两边积分可得Cxuu8454ln再代回原变量，得方程的通解为Cxuu8454ln2.形如xyfdxdy的齐次方程作变量代换xyu，则dxduxudxdy，代回原方程，整理后可得uufdxdux此时方程转化为分离变量方程，故可求出其通解。例3解方程yxyxdxdy2332解令xyu可得uxy，代入方程得32122uudxdux分离变量，再积分，化简整理可得114ucux,再代回原变量，得原方程的通解xycxy5注:该类型还可以推广到形如xyfxgxydxdy2.2伯努利方程2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用3形如nyxQyxPdxdy)()(1,0n①的方程称为伯努力方程。注：此方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n次方，1n时为非线性的.我们也可通过适当的变量替换，化为线性的微分方程。求解方法为：将方程①的两端同乘以ny，得)()(1xQyxPdxdyynn，设变量替换nyz1，则dxdyyndxdzn)1(，即dxdzndxdyyn11；代入原方程，得)()(11xQzxPdxdzn，即)()1()()1(xQnzxPndxdz，这是一个非齐次线性微分方程.按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以nyz1换回原变量，即为所求.例4求微分方程2)(lnyxaxydxdy的通解.解这是一个伯努力方程.以2y乘方程的两端，得)(ln112xayxdxdyy，于是，令1yz，则dxdyydxdz2，即dxdzdxdyy2，代入原方程，得xazxdxdzln1，或xazxdxdzln1，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程的常数变易法可求其通解。2.3二阶线性微分方程形如fqypyy'（1）其中fqp、、都是已知的连续函数,为二阶线性微分方程的一般形式。0'qypyy（2）称为与之对应的齐次方程。2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用4对于上两方程有下面两定理：定理1若y1是2的一个非零解，则由变量代换uyy1可求得(1)通解yycycy32211其中c1，c2是任意常数且dxeyyypdz2112(3)dxeyeyyypdxpdx12112(4)证明设uyy1是(1)的解，其中是u待定函数，则有uuyyy1'1'，uyuyyyu1''112将yyy“‘、、代入(1)整y后并注意y1解得：yuyyufp1'1'2(5)(5)是关于u'的一阶线性微分方程，从而可得：eudxfdxpeycyydxyyp1'2121'12'ceyeyeycdxdxfdxupdxpdxpdx2121212所以(1)的解为yycycyuy322111其中y2、y3分别为（3），（4）可直接验证（3）是的(2)特解又yy12不是常数，所以yycycy32211是的通解。定理2二阶线性微分方程xfaydxdyxBdxydxA22其中Ax0，a是常数，可经自变量代换化为常系数线性微分方程的充要条件是：xAcxxBA'21，c为常数，在满足条件下由变换化为tfaydxdyckddtyk1222，k可取任意非零实数(6)2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用5证明①在满足条件下将变换xdxxAkt1代人（6）可验证结论正确。②若可把（6）化为：tFydtdydyaatd2122(7)把xt代入(7)得：xdxdydtdxdxdydtdy'1dxdydydyxxxdtdx'221'11'22222(8)从而由于(7)和(8)是通解方程，所以把xAdxkx代入后一个等式可得ckaxAxB1212.31二阶常系数线性微分方程形如eyyxqyp'（其中p，q为常数）(9)的微分方程称为二阶常系数微分方程。像这样的方程总可以经过变量代换exAzy将原方程(9)转化成关于Z的线性齐次方程，其中A是可以确定的待定常数，事实上，由于方程(9)有形如exA形式的特解，所以令exAzy则有ezyxA''，ezyxA2将这三个式子代入方程(9)得eeezezxxxxqAqzpApA2(10)整理得021'qpAeqzzzxp(11)要使方程称为齐次方程，当且仅当2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用6021'qpAex从而qpA21(12)容易看出，当不是对应其次线性方程的特征方程02qp的根，用(12)式所确定的A代替变量代换中的A后，方程可化⑴为一个齐次方程。当为特征方程的一个单根或重跟式，同理可得：①为单根时，pA21②为重跟时，21A综上可得一下定理和推论：定理3若不是特征方程的根，则方程eyyxqyp'可经过变量代换exqpzy21转化成Z的齐次方程。推论1若是特征方程的单根时，则方程eyyxqyp'可经过变量代换exxqpzy21[其中qpp222']转化成Z的齐次方程。推论2若是特征方程的重根时，则方程eyyxqyp'可经过变量代换exxqpzy221[其中qp221]转化成Z的齐次方程。对方程CBxAqypxeyyx2'(13)当不是特征方程的根时，方程(13)有形如FExDxex2形式的特解，于是可令FExDzyxex2做法同前面一样，代入中并整理得022222222'exZZxcDpqpFxBpDqPEAqpDqZP2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用7于是令：0220220222CDpeqPFBpDqpEAqPD得：qpAD2qpqpBPAE22222F=qppqpqppqPBACqpA2222223223222定理4如不是特征根，则方程CBxAqypxeyyx2'，总可经过变量代换：qppqpqpqpxepqpBACqpAqpBpAqpAzyx22222222232232222222转化为关于Z的齐次方程。方程xBxAqypeyyxsincos'(14)当不是特征根时，方程(14)有形如xDxCexsincos式的特解，于是可令：xDxCezyxsincos用与前面一样的做法，代入原方程并整理可得结果。定理5若i不是对应的其次线性微分方程的特征方程的根时，则方程xBxAqypeyyxsincos'总可以经过变量代换2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用8xBmAnxBnAmzynmnmexsincos2222转化成关于Z的线性齐次方程，其中22qpm，p22.32二阶变系数线性微分方程形如0'yxqxpyy（15）的方程，称为二阶变系数微分方程，其中xp，xq都是连续函数。当xp，xq满足一定条件是，通过适当的变量代换，方程可化为变系数微分方程，进而求出其通解。引理假如xfyxqxpyy'方程中xxxqpp'2241，只需引入变量xvyexdxpm21则方程可化为emvvdxxpmxfxvxmx212'4定理6当xpxpcxxq2'22141时，方程可通过变量代换edxxpxcxuy21化成欧拉方程且通解为①41c时，dxxpxccpccxcxcy212411224111②41c时，exccdxxpy212121ln③41c时，eccxdxxpxccxcxcy212121ln214sinln214cos证明设dxxpxxuy21，这里x为待定的连续可微函数，此时有eeuydxxpxdxxpxxpxxux2121''21epeuuydxxpxdxxpxxxxuxxpxx21''21'212010届本科生毕业