2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究(Word含答案)

2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）1/23几何变换之翻折探究思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系．许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”很多的情况也是同样具有“变换”形式的联系．本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对称关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）．这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重要的启发和引导的作用．图形的翻折问题本质上是轴对称问题，满足轴对称的性质，即：1.折叠图形关于折痕对称2.对应边、角相等3.对应点的连线被折痕垂直平分我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的．先讲翻折题的三种常见方法【题目】（16年秋锡山区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为．法一：求．定．点．关．于．定．直．线．的．对．称．点．（万能方法）如答图1，连BD，交AC于G，则△ABC∽△AGB∽△BFD，∴BD＝2BG＝AB·1·2＝3×1×2＝6，DF＝BD·1＝110×6＝3，BF＝3DF＝9，101010101055∴D（－4，12）55法二：由．直．角．翻．折．主．动．寻．求．K．型．相．似．（特殊技巧）如答图1，由∠ADC＝90°⟹△ADN∽△DCF，相似比为3：1，设ON＝CF＝x，则DN＝3x，DF＝3－3x，2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）2/23由AN＝3DF得x＋1＝3（3－3x），解得x＝4，∴D（－4，12）5552018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）3/235法三：由．翻．折．主．动．寻．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）如答图2，延长CD交x轴于H，可得CH＝AH，设DH＝y，则AH＝y，在Rt△ADH中用勾股定理可得y＝4易得DM＝12，∴D（－4，12）555法四：由．翻．折．主．动．寻．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）如答图2，设CE＝AE＝a，则OE＝3－a，在Rt△AOE中用勾股定理可得a＝5，3由比例关系可得OM＝4，∴D（－4，12）555【例题剖析】题型一：利用对应边相等，对应角相等例1－1、（2015年无锡）10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A3423．B．C．53D．2【解答】选B〖点评〗本题的关键点在于发现并证明∠B′FB是直角，由翻折可知∠A＝∠ADC＝∠B′DF，∠A＋∠B＝90°又∠B＝∠B′========‹∠B′FB是直角⟹△B′DF是“345”的三角形又由翻折可知B′C＝BC＝4，CD＝AC＝3，2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）4/23例1－2、（18年4月锡山区二模）17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC＝8，AB＝10，则CD的长为．【解答】CD＝258答图1答图2母子三角形〖点评〗本题的关键点在于发现并证明F是AB的中点，如答图，由翻折⟹CF⊥DE=====‹∠1＝∠B直角三角形斜边上的中线定理的逆命题∠1＝∠2====‹∠2＝∠B⟹CF＝BF======================‹F是AB中点本题也可以根据90度翻折构造K型相似来解决，如答图2〖针对练习〗1、（18年4月宜兴一模）16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连结CF，则sin∠EFC＝．【解答】452018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）5/23例2－1、（18年4月宜兴一模）10．一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．2B．32C．2D．76【解答】选D〖点评〗本题的关键点在于发现并利用△DEN是等腰三角形，由翻折⟹∠CDB＝∠EDB，作高EHEN是折痕⟹EN∥CD⟹∠END＝∠BDC⟹∠END＝∠EDN⟹EN＝ED===‹△DEN是“556”的三角形题型二：利用（或构造）等腰三角形2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）6/23例2－2、（12年南长区一模）已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．（1）当BE＝1时，CF＝cm；CE（2）当BE＝2时，求sin∠DAB′的值；CE（3）略【解答】当E点在BC边上时，sin∠DAB′＝5，当E点在BC的延长线上时，sin∠DAB′13＝3，5〖点评〗本题三种方法都可以，方法一：如答图1，构造等腰三角形AGF，再由勾股定理得到方程x2＋62＝（9－x）2解得x＝5，所以sin∠DAB′＝5213方法二：如答图2，△ABE∽△AHB∽△B′GB，三边之比都为2：3：13，∴BH＝3BE＝3×4＝12⟹BB′＝2BH＝24⟹BG＝2BB′＝48⟹AG＝30⟹sin∠131313DAB′＝51313131313方法三：如答图3，构造相似三角形△AB′F∽△B′EG，且相似比为3：2，可得方程组3x＋2y＝6，解得x＝1013，所以sin∠DAB′＝53x2＋3y2＝36y＝241313另一种情况类似，参考答图4答图1答图2答图32018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）7/23答图42018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）8/23例2－3、（17年滨湖二模）18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点E从C点出发向终点B运动，速度为1cm/秒，运动时间为t秒，作EF∥AB，点P是点C关于EF的对称点，连结AP，当△AFP恰好是直角三角形时，t的值为．【解答】t＝25或788答图1答图2〖点评〗本题的关键点在于CP与折痕EF垂直，也即与AB垂直，在∠APE＝90°时，可得等腰三角形ABE。首先∠AFP不可能是直角，否则易得∠CFE＝45°，与题意不符；如果∠FAP＝90°，则AP∥BC⟹CP＝5AC＝15⟹CE＝CP·1·5＝2544238∠F‸E＝∠FEC＝∠B如果∠APE＝90°，则A、P、E三点共线⟹∠FEP＝∠BAE===========‹∠BAE＝∠B⟹AE＝BE⟹32＋t2＝（4－t）2⟹t＝782018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）9/23例3－1、探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图1）：（1）请就图1证明上述“模块”的合理性；（2）请直．接．利．用．上述“模块”的结论解决下面两个问题：①如图2，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，求此时点B的坐标；②如图3，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．【解答】（1）略；（2）①B（3，3）；42②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，∵A（－2，1），∴C点的纵坐标为1，D点的横坐标为－2，∴C（x，1），D（－2，y），∴1＝－2x＋3，y＝－2×（－2）＋3，∴x＝1，y＝7，∴C（1，1），D（－2，7）．设E（x，y），∴DM＝x＋2，ME＝7－y，CN＝x－1，EN＝y－1，由对称可知：DE＝AD＝6，CE＝AC＝3∵∠M＝∠N＝∠DEC＝90°，∴△DME∽△ENC，∴DM＝ME＝DE，ENCNCE∴x＋2＝2＝x香1，y香17香y2∴解得：x＝145y＝175∴B（14，17）55题型三：利用（或构造）“K”字形相似2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）10/23例3－2、（14外国语一模，18）如图，将等边△ABC折叠，使点B落在边AC上，对应点为D，设折痕为MN，如果CD＝3，则BM的值为．DA2BN【解答】BM＝8BN7〖点评〗方法一：如答图1，根据翻折，得到∠MDN＝60°⟹△ADN∽△CMD⟹DM＝DNCD＋DM＋MC＝CD＋BM＋MC＝CD＋BC＝8AD＋DN＋NAAD＋BN＋NAAD＋AB7方法二：如答图2，分别边D点作DF⊥BC于F点，作DE⊥AB于E点，则设AD＝4，CD＝6，则CF＝3，DF＝33，AE＝2，DE＝23，x2＝7香x2＋332再设BM＝x，BN＝y，则有y2＝8香y2＋232x＝38解得7y＝194∴DM＝8DN7答图1答图2〖针对练习〗1、（2016河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD、BC于点M、N，当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为．2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）11/23【答案】322或3552018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）12/23例4－1、（11年东林，26）如图1，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴交于A、B两点，C点为4线段AO上一点，一动点P在x轴上．（1）当P点运动到与原点O重合时，P点关于直线BC的对称点恰好落在直线AB上，求此时PC的长；（2）如图2，若C点为线段AO的中点，问：P点运动到何处，点P关于直线BC的对称点落在直线AB上？【解答】（1）方法较多，PC＝32（2）C（2，0），△AOB三边之比为2：3：设P（t，0），则CP＝2－t，由△AOB∽△PHD∽△PECDH＝2PD＝2·2PE＝2·2·3PC＝12（2－t）＝24香12晦，1313PH＝3DH＝18（2－t）OH＝36香5晦，1313131321313∴D（36香5晦，24香12晦），代入y＝－3x＋3可得t＝161313421题型四：利用相似算对称点2018中考数学专题大讲堂-第七讲-几何变换之翻折探究（Word含答案）13/23例4－2、（2016无锡，27）如图，已知□ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作□ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D．（1）若m＝3，试求四边形CC1B1B的面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求n的值．m【解答】（1）如图1，∵□ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称，∴四边形AB1C1D是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形，∴S□BCEF＝S□BCDA＝S□B1C1DA＝S□B1C1EF，∴S□BCC1B1＝2S□BCDA．∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m＝3，∴AB＝m－n＝3－n，OD＝2n，∴SBCDA＝AB•OD＝（3－n）•2n＝－2（n2－3n）＝－2（n－3）2＋9，□∴S＝2S22＝－4